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Vidéo de question : Déterminer la longueur d’une corde dans un cercle en appliquant le théorème de Pythagore Mathématiques

Sachant que 𝑀𝑋 = 42 cm et 𝑀𝐴 = 58 cm, déterminez la longueur de [𝐴𝐵].

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑀𝑋 égale 42 centimètres et 𝑀𝐴 égale 58 centimètres, déterminez la longueur du segment de droite 𝐴𝐵.

Commençons par recenser les informations qui nous ont été données. Donc 𝑀𝑋 est de 42 centimètres et 𝑀𝐴 est de 58 centimètres. On nous demande de calculer la longueur du segment de droite 𝐴𝐵. Il faut noter que le segment 𝐴𝐵 est une corde. C’est parce que c’est un segment de droite qui relie deux points distincts sur la circonférence. Il y a aussi cette droite 𝑀𝑋, qui est une droite partant du centre 𝑀 vers la corde. Nous pouvons également voir qu’il y a un angle droit, ce qui signifie que cette droite issue du centre rencontre la corde à 90 degrés.

Rappelons la propriété que si nous avons un cercle de centre 𝐴 contenant une corde, le segment de droite 𝐵𝐶, alors la droite qui passe par 𝐴 et est perpendiculaire au segment de droite 𝐵𝐶 est également une bissectrice du segment de droite 𝐵𝐶. L’application de cette propriété signifie ici que le segment 𝐴𝑋 est congruent au segment 𝑋𝐵. C’est parce que longueur de la corde 𝐴𝐵 a été divisée par deux. Cela signifie que si nous connaissions la longueur du segment 𝐴𝑋 ou du segment 𝑋𝐵, nous pourrions la doubler pour trouver la longueur du segment 𝐴𝐵.

Alors considérons ce triangle 𝐴𝑋𝑀. Et nous savons que ce sera un triangle rectangle car la mesure de l’angle de 𝐴𝑋𝑀 sera également de 90 degrés. Cela vient bien sûr du fait que nous avons une droite 𝐴𝐵 et que les angles sur une droite ont une somme de 180 degrés.

Alors maintenant, nous avons un triangle rectangle, et nous connaissons deux des longueurs de ce triangle rectangle, et nous voulons trouver la longueur du troisième côté. Définissons donc la longueur du segment de droite 𝐴𝑋 comme étant 𝑦 centimètres. Nous pouvons trouver la valeur de 𝑦 en appliquant le théorème de Pythagore. Ce théorème nous dit que dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Et donc nous avons l’hypoténuse au carré. L’hypoténuse est toujours opposée à l’angle droit. Donc, 58 au carré est égal à 42 au carré plus 𝑦 au carré. Or 58 au carré est égal à 3364, et 42 au carré est égal à 1764. Soustraire 1764 des deux côtés nous donne 1600 égal à 𝑦 au carré.

Ensuite, nous devons prendre la racine carrée des deux côtés de cette équation, en nous rappelant que puisque 𝑦 est une longueur, alors ce sera la valeur positive de la racine carrée. Et donc nous avons que 40 est égal à 𝑦. Et donc nous savons que la longueur du segment de droite 𝐴𝑋 est de 40 centimètres.

Nous devons être prudents ici. Nous n’avons pas terminé la question parce qu’on nous a demandé la longueur du segment de droite 𝐴𝐵. C’est là que notre propriété devient très importante. Nous savons que le segment 𝐴𝑋 est égal au segment 𝐵𝑋. On peut donc trouver la longueur du segment de droite 𝐴𝐵 en doublant la longueur du segment de droite 𝐴𝑋. C’est deux fois 40, soit 80. Et nous pouvons donc fournir la réponse que la longueur du segment de droite 𝐴𝐵 est de 80 centimètres.

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