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Vidéo de question : Déterminer l’inverse de la transposée d’une matrice Mathématiques

Sachant que 𝐴⁻¹ = [1, 11, 5, 17], déterminez (𝐴 ^ (𝑇)) ⁻¹.

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Transcription de vidéo

Sachant que la matrice inverse de 𝐴 est la matrice deux fois deux : un, 11, cinq, 17, déterminez l’inverse de la transposée de 𝐴.

Dans cette question, on nous a donné l'inverse de la matrice 𝐴. Nous devons l'utiliser pour déterminer l'inverse de sa transposée. Nous pouvons procéder de plusieurs manières. Par exemple, puisqu’on nous donne l'inverse de la matrice 𝐴, nous pouvons inverser cette matrice pour trouver 𝐴, puis trouver sa transposée et enfin l'inverser à nouveau pour trouver l'inverse de la transposée de 𝐴. Même si cette méthode fonctionne et nous donne la bonne réponse, il existe en fait une méthode plus simple en utilisant les propriétés de la matrice inverse.

En fait, nous pouvons répondre à cette question en rappelant que pour toute matrice inversible 𝐴, l'inverse de la transposée de la matrice 𝐴 est égale à la transposée de l'inverse de 𝐴. Bien évidemment, il nous est donné dans la question que 𝐴 est inversible. Nous pouvons donc utiliser cela pour répondre à la question. L'inverse de la transposée de 𝐴 est la transposée de l'inverse de 𝐴. Nous pouvons substituer la matrice deux fois deux qui nous a été donnée comme inverse de 𝐴 dans cette expression. Nous obtenons la transposée de la matrice un, 11, cinq, 17.

Il ne reste plus qu'à construire la transposée de cette matrice. Rappelons que pour construire la transposée d'une matrice, nous devons écrire les lignes de cette matrice en tant que colonnes de notre nouvelle matrice. Ainsi, la première colonne de la transposée sera un, 11 et la deuxième colonne sera cinq, 17. Nous obtenons ainsi notre réponse finale. L'inverse de la transposée de la matrice 𝐴 est la matrice un, cinq, 11, 17. Cela suffit pour répondre à nos questions, nous pouvons donc s'arrêter là. Cependant, nous pouvons aussi discuter de la raison pour laquelle cette propriété est vraie à la base.

Pour voir pourquoi cette propriété est vraie, prouvons-la. Commençons par une matrice inversible 𝑀. Puisque 𝑀 est inversible, l'inverse de 𝑀 existe. Plus précisément, 𝑀 multipliée par son inverse sera la matrice identité. Nous pouvons prendre la transposée des deux côtés de cette équation, nous obtenons l'équation suivante. Nous pouvons simplifier le côté gauche de cette équation en notant que nous prenons la transposée du produit de deux matrices. Rappelons que cela revient à échanger l'ordre de notre produit et à prendre la transposée de chacune des matrices individuellement. Cela revient à multiplier la transposée de l'inverse de 𝑀 par la transposée de la matrice 𝑀.

Nous pouvons évaluer le côté droit de cette équation en notant que nous prenons la transposée de la matrice d'identité. Rappelez-vous, la matrice d'identité est une matrice diagonale. Cela nous permet de calculer sa transposée. Elle est égale à elle-même, soit la matrice identité. Ce qui permet de remarquer une chose intéressante. Nous multiplions deux matrices et leur produit est la matrice identité, ce qui implique que ces deux matrices doivent être inverses l'une à l'autre. En particulier, la transposée de l'inverse de la matrice 𝑀 est égale à l'inverse de la transposée de la matrice 𝑀. Nous avons donc prouvé que cela était vrai pour toute matrice inversible 𝑀. Nous pouvons appliquer cela à notre question pour montrer que l'inverse de la transposée de la matrice 𝐴 est la matrice deux fois deux : un, cinq, 11, 17.

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