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Vidéo de question : Résoudre une équation linéaire impliquant un nombre complexe et son conjugué Mathématiques

Résolvez 2𝑧 - 𝑧 barre = 5 dans ℂ.

01:47

Transcription de vidéo

Résoudre deux 𝑧 moins 𝑧 barre égale cinq dans l’ensemble des nombres complexes.

Dans cette question, nous avons une équation impliquant un nombre complexe 𝑧. Nous savons que l’écriture algébrique de 𝑧 est de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des constantes réelles. 𝑧 barre, qui est parfois écrit 𝑧 étoile, est le conjugué complexe de 𝑧. Nous le construisons en changeant le signe de la partie imaginaire initiale. Ainsi, le conjugué du nombre complexe général 𝑎 plus 𝑏𝑖 est 𝑎 moins 𝑏𝑖.

Remplaçons par ces nombres complexes dans l’équation d’origine. Lorsque nous le faisons, nous obtenons deux fois 𝑎 plus 𝑏𝑖 moins 𝑎 moins 𝑏𝑖 égale cinq. Nous allons maintenant distribuer nos parenthèses. Deux fois 𝑎 donne deux 𝑎 et deux fois 𝑏𝑖 donne deux 𝑏𝑖. Moins une fois 𝑎 vaut moins 𝑎 et moins une fois moins 𝑏𝑖 vaut 𝑏𝑖. Notre équation donne donc deux 𝑎 plus deux 𝑏𝑖 moins 𝑎 plus 𝑏𝑖 égale cinq.

Rassemblons les termes similaires. Nous obtenons deux 𝑎 moins 𝑎, qui vaut 𝑎, et deux 𝑏𝑖 plus 𝑏𝑖, qui donne trois 𝑏𝑖. Nous obtenons donc 𝑎 plus trois 𝑏𝑖 égale cinq. Ensuite, nous allons identifier les parties réelles et imaginaires des deux côtés de notre équation. Sur le côté gauche, la partie réelle est 𝑎. A droite, la partie réelle est cinq. À gauche, la partie imaginaire est trois 𝑏. Rappelez-vous, il s’agit du coefficient de 𝑖. Puis, nous voyons qu’à droite, la partie imaginaire est nulle.

En assimilant les parties réelles, nous trouvons que 𝑎 est égal à cinq. Ensuite, en assimilant les parties imaginaires, nous obtenons trois 𝑏 est égal à zéro. Cela, bien sûr, signifie que 𝑏 lui-même est égal à zéro. Ainsi, en revenant à la forme générale d’un nombre complexe, 𝑎 plus 𝑏𝑖, nous pouvons dire que 𝑧 doit être égal à cinq plus zéro 𝑖, c’est-à-dire cinq.

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