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Vidéo de question : Utilisation d’une suite arithmétique pour résoudre un système d’équations linéaires Mathématiques

Déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦 étant donnée la suite arithmétique (9𝑥, 4𝑦 + 1, 2𝑦 − 6, 4𝑦 + 2,...).

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Transcription de vidéo

Déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦 étant donné la suite arithmétique neuf 𝑥, quatre 𝑦 plus un, deux 𝑦 moins six, quatre 𝑦 plus deux.

On nous donne quatre termes d’une suite arithmétique, et ces quatre termes sont exprimés en fonction d’une variable, soit 𝑥 soit 𝑦. Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est une valeur constante, qu’on appellera la raison. Donc, si on prend le premier terme et qu’on ajoute la raison, on obtient le deuxième terme. Si on prend le deuxième terme et que l’on ajoute la raison, on obtient le troisième terme, et ainsi de suite. On peut s’en servir pour écrire quelques équations. Par exemple, on peut écrire que neuf 𝑥 plus r égale quatre 𝑦 plus un. Cette affirmation est vraie.

Mais on a en fait ajouté une variable inconnue. On a maintenant trois inconnues 𝑥, r et 𝑦. On cherche une stratégie qui ne nécessite pas l’introduction d’une troisième variable. Pour ce faire, on peut utiliser ce qu’on sait des moyennes arithmétiques. Les termes entre 𝑎 un et 𝑎 𝑛 d’une suite arithmétique sont des moyennes arithmétiques. Cela veut dire que quatre 𝑦 plus un est une moyenne arithmétique. Et deux 𝑦 moins six est une moyenne arithmétique. Quatre 𝑦 plus un se situe entre 𝑎 un et 𝑎 trois. Et puisque quatre 𝑦 plus un est la moyenne arithmétique de 𝑎 un et 𝑎 trois, alors on peut additionner 𝑎 un et 𝑎 trois et diviser par deux pour trouver 𝑎 deux. On a neuf 𝑥 plus deux 𝑦 moins six divisé par deux égale quatre 𝑦 plus un. Et puisque deux 𝑦 moins six est aussi une moyenne arithmétique, elle se situe entre 𝑎 deux et 𝑎 quatre.

On peut écrire une deuxième équation : quatre 𝑦 plus un plus quatre 𝑦 plus deux divisé par deux égale deux 𝑦 moins six. Dans la première équation, on a deux variables 𝑥 et 𝑦. Dans la deuxième équation, on a une seule variable 𝑦, il est donc peut-être préférable de commencer par là et de chercher 𝑦. Pour ce faire, on peut additionner les termes similaires dans le numérateur, ce qui donne huit 𝑦 plus trois divisé par deux égale deux 𝑦 moins six. Multiplions par deux chaque côté de l’équation pour avoir huit 𝑦 plus trois égale quatre 𝑦 moins 12. Dans la prochaine étape, on peut soustraire quatre 𝑦 de chaque côté et soustraire aussi trois de chaque côté de l’équation. À gauche, on obtient les termes en 𝑦. Huit 𝑦 moins quatre 𝑦 égale quatre 𝑦.

Et du côté droit, on aura les constantes moins 12 moins trois égale moins 15. Divisons chaque côté par quatre, ce qui donne 𝑦 égale moins 15 sur quatre. On peut prendre cette valeur de 𝑦 et la substituer dans la première équation. Mais les calculs seront plus faciles si on simplifie avant de remplacer y par moins quinze quarts. Notre première étape est d’enlever le deux du dénominateur, on multiplie par deux chaque côté de l’équation, ce qui donne neuf 𝑥 plus deux 𝑦 moins six égale huit 𝑦 plus deux. Comme on veut trouver 𝑥, on cherche à faire passer 𝑦 de l’autre côté de l’équation. Pour ce faire, on retranche deux 𝑦 de chaque côté de l’équation et on ajoute six de chaque côté de l’équation.

À gauche, il reste neuf 𝑥. Et à droite, il y a six 𝑦 plus huit. Ensuite, on remplace 𝑦 par moins quinze quarts. Six fois moins quinze quarts plus huit est égal à moins 29 sur deux. En divisant par neuf chaque côté de l’équation, on obtient 𝑥 égale moins 29 sur 18. On pourrait revenir en arrière et utiliser ces valeurs pour calculer la valeur exacte de chaque terme de la suite arithmétique. Cependant, la question demande seulement de trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦, ce que nous venons de faire. 𝑥 est égal à moins 29 sur 18, et 𝑦 est égal à moins quinze quarts.

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