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Vidéo question :: Déterminer les coordonnées des points divisant un segment en trois parties égales Mathématiques • Première secondaire

Étant donnés 𝐴 (−5 ; 9) et 𝐵 (7 ; −3), quelles sont les coordonnées des points 𝐶 et 𝐷 qui divisent 𝐴𝐵 en trois segments de même longueur ?

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Transcription de la vidéo

Étant donnés 𝐴 moins cinq, neuf et 𝐵 sept, moins trois, quelles sont les coordonnées des points 𝐶 et 𝐷 qui divisent 𝐴𝐵 en trois segments de même longueur ?

La première chose qu’on a fait est de représenter le segment 𝐴𝐵. Et on a fait ceci en représentant le point 𝐴 moins cinq, neuf et le point 𝐵 sept, moins trois. Alors ce que nous avons fait ici, c’est que nous avons représenté la situation avec une ligne horizontale. Nous avons donc le segment 𝐴𝐵. Ensuite, nous avons deux points qui permettent de diviser le segment en trois segments égaux. Nous avons donc un tiers de la longueur, un tiers de la longueur et un tiers de la longueur. Donc à partir de cette figure, nous pouvons voir que le point 𝐶 est situé à un tiers de la longueur du segment. Et que le point 𝐷 est situé à deux tiers de la longueur du segment.

Alors, il y a deux manières de résoudre ce problème. La première méthode que nous allons utiliser consiste à utiliser le quadrillage du repère. Donc, tout d’abord, nous allons compter le nombre de carreaux pour aller de 𝐴 à 𝐵 selon l’axe des 𝑦 et nous pouvons voir qu’il y en a 12. Et en faisant de même selon l’axe des 𝑥, nous voyons qu’il y a aussi 12 carreaux pour aller de 𝐴 à 𝐵. Alors, commençons par considérer le point 𝐶, eh bien, nous savons que le point 𝐶 est situé à un tiers de la longueur entre 𝐴 à 𝐵. Nous pouvons donc déterminer un tiers de la longueur entre 𝐴 à 𝐵, qui est égale à quatre carreaux vers le bas dans la direction de l’axe des y, car un tiers de 12 est égal à quatre. Et nous avons la même chose selon l’axe des 𝑥, parce qu’il faut prendre quatre carreaux puisqu’un tiers de 12 est égal, encore une fois, à quatre.

Alors, nous pouvons maintenant descendre de quatre carreaux depuis le point 𝐴, puis aller quatre carreaux vers la droite. Et il faut ensuite déterminer le point d’intersection. Eh bien, le point d’intersection est le point 𝐶, dont les coordonnées sont moins un, cinq. Alors, si nous nous intéressons maintenant au point 𝐷, nous cherchons un point situé aux deux tiers de la longueur 𝐴 à 𝐵. Donc, je vais repérer cela à nouveau sur la figure, il faut prendre deux tiers. Donc, c’est huit carreaux vers le bas et huit carreaux vers la droite. Alors, le point d’intersection est le point 𝐷, dont les coordonnées sont trois, un. C’est parfait ! Nous avons donc trouvé les points 𝐶 et 𝐷 qui divisent le segment 𝐴𝐵 en trois segments égaux.

Alors, nous avons donc dit qu’il existe plusieurs méthodes pour faire cela. Nous allons donc voir une autre méthode. Et dans cette méthode, nous allons formaliser le processus en utilisant une formule. Alors, la formule à utiliser dit que pour trouver le point 𝑥, 𝑦 le long du segment, alors cela est égal à 𝑥 indice un plus 𝑘 multiplié par 𝑥 indice deux moins 𝑥 indice un. Et c’est pour l’abscisse 𝑥. Et pour l’ordonnée 𝑦, nous avons 𝑦 indice un plus 𝑘 multiplié par 𝑦 indice deux moins 𝑦 indice un. Avec 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux sont les coordonnées des deux extrémités du segment, qui dans ce cas, sont 𝐴 et 𝐵. Et 𝑘 est la fraction de la longueur du segment depuis le point considéré.

Alors maintenant, remplaçons nos valeurs dans la formule. Donc, la première chose à faire est de numéroter les coordonnées que nous avons. Nous avons donc 𝑥 indice un, 𝑦 indice un et 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux. Alors maintenant, nous allons nous intéresser au point 𝐶, qui est situé à un tiers du segment. Donc, quand nous faisons cela, pour l’abscisse 𝑥, nous avons moins cinq plus un tiers multiplié par sept moins moins cinq. Ensuite, pour l’ordonnée 𝑦, nous avons neuf plus un tiers multiplié par moins trois moins neuf.

Et comme nous l’avons dit précédemment, ce n’est qu’une méthode plus formalisée que la méthode précédente car entre les parenthèses du côté gauche, nous avons juste le déplacement selon l’axe des 𝑥. Cela signifie que notre déplacement est d’un tiers. Et sur le côté droit entre parenthèses, nous avons le déplacement selon l’axe des 𝑦 et nous voulons un déplacement d’un tiers. Alors, en calculant ces valeurs, nous avons moins cinq plus quatre, neuf moins quatre, ce qui nous donne comme coordonnées moins un, cinq, ce qui correspond au résultat obtenu avec la première méthode.

Alors maintenant, passons rapidement, au point 𝐷. Alors, pour le point 𝐷, il faut faire la même chose sauf que cette fois, nous avons deux tiers comme valeur de 𝑘, car le point est situé aux deux tiers du segment. Nous avons donc moins cinq plus deux tiers multiplié par sept moins moins cinq pour l’abscisse 𝑥 et neuf plus deux tiers multiplié par moins trois moins neuf pour l’ordonnée 𝑦, ce qui une fois simplifiés, nous donne comme coordonnées trois, un, ce qui correspond au résultat de la première méthode.

Nous avons donc trouvé les points 𝐶 et 𝐷 qui divisent le segment 𝐴𝐵 en trois segments égaux, et dont les coordonnées sont respectivement moins un, cinq et trois, un.

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