Vidéo question :: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète | Nagwa Vidéo question :: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète | Nagwa

Vidéo question :: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète Mathématiques • Troisième secondaire

Lors d'un examen final effectué par 25 étudiants, 12 étudiants ont eu 7 points, 6 étudiants ont eu 8 points et 7 étudiants ont eu 9 points. Sachant que 𝑋 représente le nombre de points marqués, déterminez la variance de 𝑋.

03:53

Transcription de la vidéo

Lors d'un examen final effectué par 25 étudiants, 12 étudiants ont eu sept points, six étudiants ont eu huit points et sept étudiants ont eu neuf points. Sachant que 𝑋 représente le nombre de points marqués, déterminez la variance de 𝑋.

Le nombre de points marqués par les étudiants lors de cet examen est une variable aléatoire discrète, que l'on nous demande de noter 𝑋. Nous pouvons écrire la fonction de distribution de probabilité de cette variable aléatoire discrète à l'aide des informations données dans la question. Les valeurs que peut prendre cette variable aléatoire discrète sont le nombre de points obtenus par les élèves, soit sept, huit ou neuf. Les probabilités correspondantes, que nous désignons à l'aide de la fonction 𝑓 de 𝑥, sont toutes des fractions dont le dénominateur est 25, soit le nombre total d'étudiants ayant passé l'examen.

12 étudiants ont eu sept points, la probabilité que 𝑥 soit égal à sept est donc de 12 sur 25. Six étudiants ont eu huit points, la probabilité que 𝑥 soit égal à huit est donc de six sur 25. Enfin, sept étudiants ont eu neuf points, la probabilité que 𝑥 soit égal à neuf est donc de sept sur 25. Nous pouvons affirmer que la somme de ces trois probabilités est un, comme cela devrait être le cas pour la somme de toutes les probabilités d'une distribution de probabilité.

On nous a demandé de calculer la variance de cette variable aléatoire discrète 𝑋, rappelons donc la formule pour le faire. Il s'agit de la valeur de l'espérance de 𝑋 au carré moins le carré de la valeur de l'espérance de 𝑋. Il faut bien comprendre la différence de notation ici. Pour la valeur de l'espérance de 𝑋 au carré, nous élevons d'abord la variable au carré, puis nous déterminons son espérance, tandis que pour le second terme, il s'agit de calculer la valeur de l'espérance de 𝑋, puis d'élever cette valeur au carré.

Les formules permettant de calculer chacune de ces statistiques sont les suivantes. La valeur de l'espérance de 𝑋 est la somme de chaque valeur 𝑥 multipliée par sa probabilité correspondante. La valeur de l'espérance de 𝑋 au carré est la somme de chaque valeur 𝑥 au carré multipliée par la probabilité de cette valeur 𝑥. Nous allons ajouter quelques lignes à notre tableau pour calculer les valeurs dont nous avons besoin.

Dans la première nouvelle ligne, nous allons multiplier chaque valeur 𝑥 par sa probabilité. Sept multiplié par 12 sur 25 donne 84 sur 25. Huit multiplié par six sur 25 donne 48 sur 25. Neuf multiplié par sept sur 25 donne 63 sur 25. La valeur de l'espérance de 𝑋 est la somme de ces trois valeurs, soit 195 sur 25, ou encore 39 sur cinq sous forme simplifiée. La ligne suivante que nous ajoutons au tableau correspond aux valeurs de 𝑥 au carré, qui sont 49, 64 et 81. Dans la dernière ligne du tableau, nous allons multiplier ces valeurs par les probabilités correspondantes, ce qui donne 588 sur 25, 384 sur 25 et 567 sur 25. La valeur de l'espérance de 𝑋 au carré est la somme des trois valeurs de la dernière ligne du tableau, soit 1 539 sur 25.

Nous avons maintenant calculé la valeur de l'espérance de 𝑋 et la valeur de l'espérance de 𝑋 au carré. Nous sommes donc prêts à substituer ces valeurs dans la formule de la variance. Ceci donne 1 539 sur 25 moins 39 sur cinq au carré. Si nous calculons le carré, nous obtenons 1 539 sur 25 moins 1 521 sur 25, soit 18 sur 25. Ainsi, en commençant par écrire la fonction de distribution de probabilité de la variable aléatoire discrète 𝑋, qui représente le nombre de points obtenus par les élèves, nous avons trouvé que la variance de 𝑋 est de 18 sur 25.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité