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Dans le trapèze 𝐴𝐵𝐶𝐷, les côtés 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶 sont parallèles, et ses diagonales se coupent en 𝑀. Sachant que 𝐴𝐷 égale 66, 𝐵𝐶 égale 33 et 𝐴𝐶 égale 75, quelle est la longueur de 𝑀𝐴?
Commençons ce problème en regardant la figure. Nous avons un trapèze 𝐴𝐵𝐶𝐷, et on nous dit que ses côtés parallèles sont 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶. On nous donne également des longueurs que nous pouvons noter sur la figure. 𝐴𝐷 égale 66, 𝐵𝐶 égale 33 et 𝐴𝐶 égale 75. On nous demande de déterminer la longueur du segment 𝑀𝐴, qui fait partie de la diagonale 𝐴𝐶. Pour l’instant, nous n’avons pas assez d’informations pour déterminer la longueur du segment 𝑀𝐴. Voyons donc si nous avons des triangles semblables dans ce trapèze. Plus précisément, regardons ce triangle 𝑀𝐵𝐶 et ce triangle 𝑀𝐷𝐴. Vérifions si le triangle 𝑀𝐵𝐶 est semblable au triangle 𝑀𝐷𝐴. Mais d’abord, rappelons la définition de triangles semblables.
Deux triangles semblables ont leurs angles correspondants égaux et leurs côtés correspondants proportionnels. Une façon de prouver que les triangles sont semblables est d’utiliser le critère de proportionnalité des côtés, qui vérifie si les trois paires de côtés correspondants sont proportionnel. Cependant, nous n’avons pas assez d’informations sur les côtés, alors voyons si nous pouvons appliquer le critère de similitude des angles. Pour cela, il faudrait vérifier qu’il y a deux paires d’angles correspondants égaux. Commençons par l’angle 𝑀𝐵𝐶. Puisque nous avons une paire de droites parallèles 𝐵𝐶 et 𝐴𝐷, alors nous avons un autre angle égal à l’angle 𝑀𝐵𝐶. C’est cet angle 𝑀𝐷𝐴. Grâce aux droites parallèles et à la sécante 𝐵𝐷, ces deux angles alternes-internes sont égaux.
De la même manière, si nous utilisons nos deux droites parallèles et cette fois la sécante 𝐴𝐶, nous pouvons dire que l’angle 𝑀𝐶𝐵 doit être égal à l’angle 𝑀𝐴𝐷 car ces angles sont alternes-internes. Puisque nous avons trouvé deux paires d’angles correspondants égaux, cela répond au critère de similitude des angles et prouve que le triangle 𝑀𝐵𝐶 est semblable au triangle 𝑀𝐷𝐴. Bien sûr, nous aurions aussi pu montrer que l’angle 𝐵𝑀𝐶 est égal à l’angle 𝐷𝑀𝐴 car nous avons une paire d’angles opposés. Deux paires quelconques parmi ces trois paires d’angles démontreraient la similitude des triangles.
Maintenant ayant ces deux triangles semblables, voyons comment nous pouvons utiliser cela pour déterminer la longueur du segment 𝑀𝐴. Regardons ces côtés correspondants, 𝐵𝐶 et 𝐴𝐷. Puisque ces deux segments sont proportionnels, cela signifie que nous pouvons déterminer le rapport de proportionnalité du petit triangle par rapport au grand triangle. 66 est le double de 33, ce qui signifie que le rapport de proportionnalité du petit triangle 𝑀𝐵𝐶 par rapport au grand triangle 𝑀𝐷𝐴 doit être de un sur deux. Et donc la longueur de 𝑀𝐴 que nous voulons trouver doit être le double de la longueur du côté correspondant, qui serait le côté 𝐶𝑀.
Mais nous ne connaissons pas réellement la longueur de 𝐶𝑀. Voyons donc si nous pouvons utiliser le fait que la longueur entière de 𝐴𝐶 est 75. Nous avons calculé que le rapport de proportionnalité du triangle 𝑀𝐵𝐶 au triangle 𝑀𝐷𝐴 est de un pour deux. Cela signifie donc que nous pourrions écrire le rapport du segment 𝐶𝑀 sur le segment 𝐴𝑀 comme un pour deux. Afin de diviser la longueur 𝐴𝐶 de 75 suivant le rapport un sur deux, nous commençons par diviser 75 par trois, ce qui nous donne 25.
Par conséquent, nous savons que la proportion un pour 𝐶𝑀 doit être égale à 25 et la proportion deux pour 𝐴𝑀 doit être égale à deux fois 25, soit 50. Nous pouvons alors donner la réponse que la longueur du segment 𝑀𝐴 est 50, et si nous devions donner une unité, ce serait une unité de longueur.
