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Un circuit contenant un condensateur et une bobine en série a une fréquence de résonance de 575 kilohertz. La bobine du circuit a une inductance de 1,25 Henry. Quelle est la capacité du condensateur ? Donnez votre réponse en notation scientifique à deux décimales près.
Disons que ceci est le circuit avec lequel nous travaillons. Il a un condensateur et une bobine. Et comme il s’agit d’un circuit à courant alternatif, il dispose d’une source d’alimentation à tension variable. On nous dit que la fréquence de résonance de ce circuit, nous l’appellerons 𝑓 indice 𝑅, est de 575 kilohertz. Cela fait 575000 hertz. On nous dit également que l’inductance de notre bobine est de 1,25 Henry. Le Henry est l’unité SI standard de l’inductance. Sachant tout cela, nous voulons trouver la capacité du condensateur.
Nous allons le faire en supposant que notre circuit est en effet à sa fréquence de résonance. Il s’agit de la fréquence à laquelle l’opposition globale au flux de charge dans le circuit est minimisée. La fréquence de résonance d’un circuit est atteinte lorsque ce qu’on appelle la réactance du condensateur et la réactance de l’inducteur sont égales. Tout cela pour dire que la fréquence de résonance dans un circuit dépend de sa capacité et de son inductance. Ces trois grandeurs sont liées par cette équation. La fréquence de résonance d’un circuit est égale à un sur deux 𝜋 fois la racine carrée de son inductance multipliée par sa capacité. Notez que dans notre scénario, nous connaissons la fréquence de résonance de notre circuit et son inductance. C’est la capacité que nous voulons résoudre.
Alors réarrangeons cette équation de la fréquence de résonance pour déterminer 𝐶, la capacité. Si nous multiplions les deux côtés de cette équation par la racine carrée de 𝐶 sur 𝑓 indice 𝑅, alors, à gauche, cette fréquence de résonance s’annule. Et à droite, la racine carrée de la capacité s’annule. Nous avons donc que la racine carrée de 𝐶 est égale à un sur deux 𝜋 𝑓 indice 𝑅 fois la racine carrée de 𝐿. Ensuite, si nous mettons les deux côtés au carré, nous obtenons cette équation pour la capacité : un sur quatre 𝜋 au carré fois 𝑓 indice 𝑅 au carré fois 𝐿.
Rappelons maintenant que nous connaissons la fréquence de résonance de notre circuit ainsi que son inductance. Nous substituons ensuite ces valeurs dans cette expression : 575 fois 10 puissance trois hertz pour la fréquence de résonance et 1,25 Henry pour l’inductance. Lorsque nous entrons cette expression sur notre calculatrice, nous trouvons un résultat en notation scientifique à deux décimales près de 6,13 fois 10 puissance moins 14 farads. C’est la capacité du condensateur dans notre circuit.
