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Vidéo de question : Identifier si deux fonctions sont des fonctions réciproques à partir de leurs courbes Mathématiques

En traçant les courbes représentatives de 𝑓(𝑥) = 2𝑥² et 𝑔(𝑥) = √ (𝑥/2) avec 𝑥 ≥ 0, déterminez s’il s’agit de fonctions réciproques.

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Transcription de vidéo

En traçant les courbes représentatives de 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 au carré et 𝑔 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥 sur deux pour 𝑥 supérieur ou égal à zéro, déterminez s’il s’agit de fonctions réciproques.

Rappelons qu’en quelque sorte, la fonction réciproque « défait » la fonction initiale. Par exemple, supposons que nous ayons une fonction 𝑓 de 𝑥. La fonction réciproque de 𝑓 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 pour toutes les valeurs de 𝑥 de l’ensemble de définition de la fonction. Mais qu’est-ce que cela signifie lorsque nous parlons des courbes des fonctions ? Prenons la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. On trouve la courbe de la fonction réciproque de 𝑓 de 𝑥 en prenant la courbe symétrique à la courbe d’origine par rapport à la droite 𝑦 égal à 𝑥 et, bien sûr, vice versa.

Alors, plus précisément, cela signifie que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 des points du graph sont échangées. Par exemple, prenons un point 𝑎, 𝑏 qui se trouve sur la courbe 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥. Sur la courbe de la fonction réciproque de 𝑓 de 𝑥, ce point correspond au point de coordonnées 𝑏, 𝑎. Alors traçons les courbes de 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥.

Nous pouvons remarquer que l’ensemble de définition des deux fonctions a été restreint aux nombres réels positifs. Alors, c’est important parce que 𝑓 est en fait une fonction non injective. Cela signifie que si nous ne limitons pas le domaine de définition, sa fonction réciproque aurait des valeurs d’entrées ayant plusieurs images associées. Bien sûr, une telle correspondance ayant des valeurs d’entrées avec plusieurs images possibles, n’est pas une fonction. Il faut donc restreindre l’ensemble de définition pour s’assurer que deux 𝑥 au carré soit une fonction injective et que sa réciproque existe. Plus précisément, la courbe 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥 ou 𝑦 égal deux 𝑥 au carré ressemble à ceci. Elle passe par l’origine, le point zéro, zéro. Et nous pouvons choisir un point situé sur la courbe, par exemple, le point de coordonnées deux, huit.

Mais à quoi ressemble la courbe de racine carrée de 𝑥 sur deux ? Alors, nous connaissons la forme générale de la courbe 𝑦 égale racine carrée de 𝑥. Nous pouvons donc faire une transformation simple pour déterminer la courbe de 𝑦 égale racine carrée de 𝑥 sur deux. Il s’agit d’une dilatation horizontale de facteur deux. Donc, la forme reste à peu près la même. En fait, nous pouvons ajouter cette courbe sur le graphique comme indiqué. On dirait que ces fonctions ont leurs courbes symétriques par rapport à la droite d’équation 𝑦 égale 𝑥, mais nous devons le vérifier.

Pour confirmer cela, nous pouvons vérifier si le point de coordonnées huit, deux se situe sur la courbe 𝑔 de 𝑥. Nous allons donc prendre 𝑥 égal huit. Rappelons que nous faisons cela parce que nous savons que le point deux, huit se situe sur la courbe de 𝑓 de 𝑥 égal deux 𝑥 au carré. Alors 𝑔 de huit est égale à racine carrée de huit divisée par deux. Alors, c’est la racine carrée de quatre est simplement égale à deux. Nous pouvons donc vérifier si le point deux, huit correspond au point huit, deux par symétrie par rapport à la droite 𝑦 égal 𝑥. Nous savons que les deux courbes passent par le point zéro, zéro. Mais quel est l’autre point d’intersection ?

Alors, il faut résoudre le système d’équations 𝑦 égal 𝑥 et 𝑦 égal deux 𝑥 au carré. Cela nous donnera le point d’intersection entre la droite 𝑦 égale 𝑥 et la courbe de la première fonction. Et puis nous pouvons déterminer si ce point se situe également sur la courbe de 𝑔 de 𝑥 égal racine carrée de 𝑥 sur deux. Pour résoudre ce système, écrivons que les deux expressions sont égales. Donc, deux 𝑥 au carré est égal à 𝑥. Ensuite, nous soustrayons 𝑥 des deux côtés et nous factorisons le membre de gauche. Nous obtenons donc 𝑥 fois deux 𝑥 moins un égal à zéro.

Une solution à cette équation est 𝑥 égal zéro. Maintenant, nous savons déjà que ces courbes se croisent à l’origine. L’autre solution possible correspond à deux 𝑥 moins un égal à zéro. Donc, si nous ajoutons un et divisons par deux, nous obtenons que 𝑥 est égal à un demi. Ensuite, en remplaçant cette valeur dans l’une ou l’autre des équations, préférablement dans l’équation 𝑦 égale à 𝑥, nous voyons que la droite 𝑦 égal 𝑥 et 𝑦 égal deux 𝑥 au carré se croisent au point un demi, un demi.

Alors, le fait que le graphique ne soit pas à l’échelle n’a pas d’importance, c’est juste un croquis représentatif. Mais ce que nous devons vérifier, c’est si le point un demi, un demi se situe sur la courbe 𝑔 de 𝑥 égal racine carrée de 𝑥 sur deux. Nous allons encore une fois remplacer ce point dans cette fonction. Cette fois, 𝑥 est égal à un demi. 𝑔 de un demi est égal à racine carrée d’un demi divisé par deux, soit racine carrée d’un quart. Maintenant, pour calculer la racine carrée d’une fraction, il faut simplement prendre la racine carrée du numérateur et du dénominateur. Nous obtenons donc un demi. Cela confirme que le point un demi, un demi se situe sur la courbe de la fonction 𝑔 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥 sur deux.

Donc, pour récapituler, nous avons tracé les courbes des deux fonctions et nous avons vu que les fonctions semblaient être des fonctions réciproques car leurs courbes semblaient symétriques par rapport à la droite 𝑦 est égal 𝑥. Nous avons ensuite vérifié cela avec un seul point. Nous avons vu que le point deux, huit correspondait au point huit, deux. Comme les valeurs des coordonnées 𝑥 et 𝑦 de ce point sont échangées, cela correspond à une symétrie par rapport à la droite 𝑦 égal à 𝑥. Nous avons également vérifié que les fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 se croisent aux mêmes points le long de la droite 𝑦 est égal 𝑥. Avec cela, nous avons montré que 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 sont des fonctions réciproques.

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