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Vidéo de question : Déterminer l’équation d’une sphère connaissant son rayon et la distance entre un point et le plan 𝑥𝑦 Mathématiques

Une sphère de rayon 50 a pour centre le point situé sur l'axe des 𝑧 à une distance de 17 du plan 𝑥𝑦. Quelle est l'équation de la sphère ?

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Transcription de vidéo

Une sphère de rayon 50 a pour centre le point situé sur l'axe des 𝑧 à une distance de 17 du plan 𝑥𝑦. Quelle est l'équation de la sphère ?

On nous demande dans cette question de déterminer l'équation d'une sphère. On nous précise que le rayon de la sphère est égal à 50. On nous donne également quelques informations sur le centre de la sphère. Le centre de la sphère est un point sur l'axe des 𝑧 qui se trouve à une distance de 17 du plan 𝑥𝑦. Afin de répondre à cette question, commençons donc par rappeler comment on représente une sphère par une équation.

Nous rappelons qu'une sphère de rayon 𝑟 et de centre 𝑎, 𝑏, 𝑐 aura pour équation 𝑥 moins 𝑎 le tout au carré plus 𝑦 moins 𝑏 le tout au carré plus 𝑧 moins 𝑐 le tout au carré égale 𝑟 au carré. Nous parlons alors de la forme standard de l'équation d'une sphère. Pour déterminer l'équation de notre sphère, nous devons connaître le centre de notre sphère. Il nous faut également connaître le rayon de la sphère.

On nous a déjà indiqué dans la question que le rayon de la sphère est égal à 50. Nous pouvons donc substituer 𝑟 égal à 50 dans cette équation. Il ne nous reste plus qu'à trouver les coordonnées du centre de la sphère. À cette fin, nous allons utiliser le fait que le centre de la sphère est le point sur l'axe des 𝑧 qui est à une distance de 17 du plan 𝑥𝑦.

Pour nous aider à déterminer ce point, nous allons représenter les informations données sur la figure. Nous commencerons par dessiner le plan 𝑥𝑦 sur l'espace tridimensionnel, l'axe des 𝑧 étant parallèle à l'écran. Il faut trouver les points sur l'axe des 𝑧 qui sont à une distance de 17 de ce plan. Rappelez-vous que lorsqu’on parle de la distance entre un point et un plan, il s'agit en fait de la distance séparant le point de son projeté orthogonal sur le plan.

Ceci est très utile dans ce cas, car le plan 𝑥𝑦 doit être perpendiculaire à l'axe des 𝑧. Ainsi, pour déterminer la distance entre un point de l'axe des 𝑧 et le plan 𝑥𝑦, il suffit de trouver sa coordonnée 𝑧 car l'axe des 𝑧 est déjà perpendiculaire au plan 𝑥𝑦. Le point de l'axe des 𝑧 de cote 17 sera donc à une distance de 17 du plan 𝑥𝑦.

Toutefois, ce n'est pas la seule possibilité. Nous pourrions aussi avoir le point sur l'axe des 𝑧 de cote moins 17. La distance entre ce point et le plan 𝑥𝑦 est également 17. Nous obtenons ainsi deux points possibles pour le centre de notre sphère, le point zéro, zéro, 17 ou le point zéro, zéro, moins 17. Les deux nous permettront d'obtenir des équations valables pour la sphère sur la base des informations qui nous ont été données dans la question. Nous devons donc les substituer dans l'équation de notre sphère.

En substituant le point zéro, zéro, 17 comme centre de notre sphère avec un rayon de 50 dans la forme standard de l'équation d'une sphère, nous obtenons l'équation 𝑥 moins zéro le tout au carré plus 𝑦 moins zéro le tout au carré plus 𝑧 moins 17 le tout au carré égale 50 au carré. En évaluant et en simplifiant cette expression, nous obtenons 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 moins 17 le tout au carré est égal à 2 500.

Nous pouvons procéder exactement de la même façon avec le point zéro, zéro, moins 17 comme centre et de rayon 50. Nous obtenons alors une autre équation : 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 plus 17 le tout au carré est égal à 2 500. Les deux équations seront valables pour une sphère de rayon 50 dont le centre est situé en un point de l'axe des 𝑧 qui se trouve à une distance de 17 du plan 𝑥𝑦.

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