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Vidéo de question : Simplifier des expressions trigonométriques à l’aide d’identités trigonométriques Mathématiques

Simplifiez cos cos (180° − 𝜃) cos (90° − 𝜃) sec (𝜃 − 180°).

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Transcription de vidéo

Simplifiez cosinus 180 degrés moins 𝜃 fois cosinus 90 degrés moins 𝜃 fois sécante 𝜃 moins 180 degrés.

Cette expression comprend trois facteurs et nous allons simplifier chacun de ces trois facteurs avant de les combiner. Nous commençons par cosinus 180 degrés moins 𝜃 que nous pouvons évaluer en utilisant l’identité de la différence d’angles pour cosinus 𝑥 moins 𝑦. En remplaçant 𝑥 par 180 degrés et 𝑦 par 𝜃, nous obtenons que cosinus 180 degrés moins 𝜃 est égal à cosinus 180 degrés fois cosinus 𝜃 plus sinus 180 degrés fois sinus 𝜃. Cosinus 180 degrés vaut moins un et sinus 180 degrés vaut zéro. Vous devriez vous rappeler ces valeurs. Ceci peut être obtenu du cercle trigonométrique. En simplifiant l’expression avec ces valeurs, nous obtenons que cosinus 180 degrés moins 𝜃 est égal à moins cosinus 𝜃.

Pour le facteur suivant, cosinus 90 degrés moins 𝜃, nous pouvons utiliser la même identité de différence d’angles, mais au lieu de nous embêter, nous pouvons simplement nous rappeler l’identité suivante : cosinus 90 degrés moins 𝜃 est égal à sinus 𝜃.

Notre facteur final est sécante 𝜃 moins 180 degrés. Par la définition de la fonction sécante, elle est égale à un sur cosinus 𝜃 moins 180 degrés. Et nous pouvons appliquer l’identité de différence d’angles au dénominateur de cette fraction. Nous voyons cosinus 180 degrés et sinus 180 degrés réapparaître. Nous avons vu précédemment que cosinus 180 degrés vaut moins un et que sinus 180 degrés vaut zéro. En simplifiant, nous obtenons un sur moins cosinus 𝜃 qui est moins sécante 𝜃.

Maintenant que nous avons simplifié chaque facteur de notre produit, nous pouvons les multiplier ensemble. Nous obtenons moins cosinus 𝜃 fois sinus 𝜃 fois moins sécante 𝜃. Les deux signes deviennent plus dans la multiplication et comme sécante 𝜃 vaut un sur cosinus 𝜃, les cosinus 𝜃 et sécante 𝜃 se simplifient également, et nous nous retrouvons avec sinus 𝜃 que nous ne pouvons pas simplifier davantage. Donc, cosinus 180 degrés moins 𝜃 fois cosinus 90 degrés moins 𝜃 fois sécante 𝜃 moins 180 degrés se simplifie en sinus 𝜃.

Notez que deux des facteurs se simplifient car moins cosinus 𝜃 fois moins sécante 𝜃 vaut un. Aurions-nous pu voir que cosinus 180 degrés moins 𝜃 et sécante 𝜃 moins 180 degrés se simplifient avant qu’on fasse les calculs ? Je vous laisse méditer là-dessus.

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