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Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements, où la probabilité de 𝐴 est égale à trois cinquièmes, la probabilité de 𝐵 est égale à trois quarts et la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à cinq sixièmes. Calcule la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵.
Pour répondre à cette question, nous allons utiliser la règle d’addition des probabilités. Cette règle dit que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Dans cette question, on nous dit que la probabilité de 𝐴 est égale à trois cinquièmes, la probabilité de 𝐵 est égale à trois quarts et la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à cinq sixièmes. On nous demande de déterminer la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵.
Nous pouvons modifier cette équation en ajoutant la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 et en soustrayant cinq sixièmes des deux côtés. La probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est donc égale à trois cinquièmes plus trois quarts moins cinq sixièmes. Pour additionner et soustraire les fractions, il faut d’abord trouver un dénominateur commun. Dans ce cas, il faut trouver le plus petit commun multiple de cinq, quatre et six. C’est 60, car 60 est le plus petit nombre présent dans les tables de multiplication de quatre, cinq et six.
En multipliant le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 12, nous obtenons 36 sur 60. Comme quatre multiplié par 15 est égale à 60, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par 15 pour obtenir 45 sur 60. En multipliant le numérateur et le dénominateur de la troisième fraction par 10, nous obtenons que cinq sur six est égal à 50 sur 60. Comme les trois fractions ont maintenant un dénominateur de 60, nous pouvons simplement additionner puis soustraire les numérateurs. 36 plus 45 est égal à 81. Moins 50, cela nous donne 31.
Si la probabilité de 𝐴 est égale à trois cinquièmes, la probabilité de 𝐵 à trois quarts et la probabilité de 𝐴 union 𝐵, à cinq sixièmes, alors la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est égale à 31 sur 60, ou trente et un soixantièmes, en utilisant la règle d’addition des probabilités.
