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Vidéo de question : Évaluation des arrangements pour déterminer la valeur d’une inconnue Mathématiques

Déterminez la valeur de 𝑥 sachant que 235𝑃𝑥 - 3𝑥 235𝑃 (𝑥 - 1) = 0.

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Transcription de vidéo

Déterminez la valeur de 𝑥 sachant que 235𝑃𝑥 moins trois 𝑥 fois 235𝑃𝑥 moins un est égal à zéro.

Pour trouver 𝑥, nous devons comprendre la notation utilisée dans cette équation. La notation 𝑛𝑃𝑟 représente le nombre d’arrangements de 𝑟 objets uniques tirés d’une collection de 𝑛 objets uniques. Nous pouvons calculer ceci comme égal à factorielle 𝑛 divisée par factorielle 𝑛 moins 𝑟. La factorielle d’un entier positif 𝑛 est le produit de tous les nombres entiers de un à 𝑛 inclus.

Il découle directement de cette définition que factorielle 𝑛 est égal à 𝑛 fois factorielle 𝑛 moins un. De la même manière, factorielle 𝑛 est 𝑛 fois 𝑛 moins un fois factorielle 𝑛 moins deux et ainsi de suite. Le développement de factorielles de cette façon est très utile pour simplifier les expressions.

Dans notre équation, les deux éléments que nous devons simplifier sont 235𝑃𝑥 et 235𝑃𝑥 moins un. Notez à quel point ils sont semblables. La seule différence est que leur 𝑟 diffère de un. Lorsque nous voyons quelque chose de ce genre, il est fréquent qu’un terme soit un simple multiple de l’autre. Cela signifie que nous pouvons simplifier notre expression en déterminant quel est ce multiple. Nous cherchons donc en général à trouver un nombre tel que 𝑛𝑃𝑟 est égal à ce nombre fois 𝑛𝑃𝑟 moins un. Nous avons écrit la relation de cette façon parce que 𝑛𝑃𝑟 est toujours supérieur ou égal à 𝑛𝑃𝑟 moins un.

Quoi qu’il en soit, nous pouvons voir que le nombre que nous recherchons est égal à 𝑛𝑃𝑟 divisé par 𝑛𝑃𝑟 moins un. En développant en utilisant notre définition de 𝑛𝑃𝑟 en termes de factorielles, nous obtenons factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑟 le tout divisé par factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑟 plus un. Factorielle 𝑛 au numérateur du numérateur divisé par factorielle 𝑛 au numérateur du dénominateur donne un. Factorielle 𝑛 moins 𝑟 au dénominateur du numérateur va au dénominateur de la fraction globale. Factorielle 𝑛 moins 𝑟 plus un au dénominateur du dénominateur va au numérateur de la fraction globale.

Cela nous laisse avec factorielle 𝑛 moins 𝑟 plus un divisée par factorielle 𝑛 moins 𝑟. Nous pouvons maintenant simplifier en utilisant notre expression de factorielle 𝑛. Cette expression nous dit que factorielle 𝑛 moins 𝑟 plus un est égale à 𝑛 moins 𝑟 plus un fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. En remarquant que le facteur factorielle 𝑛 moins 𝑟 est commun au numérateur et au dénominateur, nous voyons que cette expression est simplement égale à 𝑛 moins 𝑟 plus un. Ainsi, le nombre que nous recherchons dans notre relation est 𝑛 moins 𝑟 plus un. Maintenant, nous allons utiliser cette relation générale pour remplacer le 235𝑃𝑥 de notre équation d’origine.

En remplaçant 𝑛 par 235 et 𝑟 par 𝑥, nous avons que 235 moins 𝑥 plus un fois 235𝑃𝑥 moins un moins trois 𝑥 fois 235𝑃𝑥 moins un égal à zéro. Maintenant, les deux termes du membre de gauche ont un facteur commun. Puisque ce facteur commun est non nul, nous pouvons diviser les deux membres de l’équation par 235𝑃𝑥 moins un pour nous en débarrasser. Notre équation se simplifie alors en 235 moins 𝑥 plus un moins trois 𝑥 est égal à zéro. 235 plus un est égal à 236 et moins 𝑥 moins trois 𝑥 est égal à moins quatre 𝑥. En ajoutant quatre 𝑥 aux deux membres, nous avons que 236 est égal à quatre 𝑥. Enfin, en divisant les deux membres par quatre, nous arrivons à notre réponse, à savoir que 𝑥 est égal à 59.

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