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Vidéo de question : Déterminer le coefficient de frottement entre un corps et un plan incliné rugueux étant donné qu’une force agit sur le corps lorsque son mouvement est imminent Mathématiques

Un corps de poids 20 N est au repos sur un plan incliné. Une force inclinée vers le haut 𝑝, agit sur le corps de sorte que sa ligne d’action est parallèle a la ligne de plus grande pente du plan. Étant donné que lorsque 𝑝 = 22 N, le corps est sur le point de monter le plan et lorsque 𝑝 = 10 N, il est sur le point de descendre le plan, déterminez le coefficient de frottement entre le corps et le plan.

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Transcription de vidéo

Un corps de poids 20 newtons est au repos sur un plan incliné. Une force inclinée vers le haut 𝑝 agit sur le corps de sorte que sa ligne d’action est parallèle à la ligne de plus grande pente du plan. Étant donné que lorsque 𝑝 est égal à 22 newtons, le corps est sur le point de monter le plan et lorsque 𝑝 est égal à 10 newtons, il est sur le point de descendre le plan, déterminez le coefficient de frottement entre le corps et le plan.

Et il y a beaucoup d’informations dans l’énoncé, donc nous allons commencer par esquisser la première situation. Nous avons un corps de poids 20 newtons au repos sur un plan incliné. Puisque le poids du corps est de 20 newtons, c’est cette force qui agit verticalement vers le bas sur la pente. Vu que nous ne connaissons pas l’inclinaison du plan, alors appelons cela 𝜃. Nous avons une force inclinée vers le haut 𝑝 qui agit sur le corps. Maintenant, elle agit dans une direction parallèle à la droite de plus grande pente du plan, comme indiqué.

Eh bien, on nous dit que lorsque 𝑝 est égal à 22 newtons, le corps est sur le point de monter vers le haut du plan. Alors, ce qui l’empêche de bouger vers le haut du plan c’est le frottement. Rappelez-vous, on nous a dit que c’était un plan incliné rugueux. Le frottement agit contre la direction dans laquelle le corps essaie de se déplacer, comme indiqué. Il y a en fait une autre force qui nous intéresse, c’est la force de réaction du plan sur le corps. Ceci agit perpendiculairement au plan.

Alors, avant de passer à la deuxième partie de l’information, nous allons d’abord utiliser ce que nous avons pour calculer 𝜇. C’est le coefficient de frottement de notre plan. Pour ce faire, nous allons trouver les composantes des forces perpendiculaires et parallèles au plan. Nous commençons généralement par considérer les forces perpendiculaires. Le problème est que, la force représentant le poids du corps n’agit pas dans une direction parallèle ni perpendiculaire au plan. Et donc, nous allons dessiner ce petit triangle rectangle. Cela va nous permettre calculer ses composantes ; nous les appelons 𝑥 et 𝑦.

Nous pouvons étiqueter ce triangle comme indiqué et utiliser la trigonométrie à angle droit pour calculer les expressions pour les composantes 𝑥 et 𝑦 en fonction de 𝜃. Nous utilisons le rapport de cosinus pour commencer. Nous savons que cosinus 𝜃 est le côté adjacent sur l’hypoténuse. Donc ici, cosinus 𝜃 est égal à 𝑥 sur 20 ou 𝑥 est égal à 20 cosinus 𝜃. En utilisant le même rapport cosinus de la même manière, et nous obtenons une expression pour la composante 𝑦 en fonction de 𝜃 ; c’est 20 sinus 𝜃. En plus, nous savons que le corps est sur l’imminence du mouvement. Donc, la somme vectorielle de ses forces est nulle. Perpendiculaire au plan, nous avons la force de réaction agissant vers le haut et 20 cosinus 𝜃 agissant dans le sens opposé perpendiculaire au plan. Ainsi, 𝑅 moins 20 cosinus 𝜃 est égal à zéro, ce qui signifie que 𝑅 est égal à 20 cosinus 𝜃.

Munis de cette information, nous pouvons ensuite calculer les forces parallèles au plan. Cette fois, nous avons 22 newtons agissant vers le haut et parallèlement à la pente puis la force de frottement et la composante du poids. Donc, nous disons que 22 moins le frottement moins 20 sinus 𝜃 est égal à zéro. Mais nous savons que le frottement est 𝜇𝑅, où 𝜇 est le coefficient de frottement. Donc, nous remplaçons la force de frottement par 𝜇𝑅. Ensuite, rappelons-nous que 𝑅 est égal à 20 cosinus 𝜃. Et donc, notre équation devient 22 moins 20𝜇 cosinus 𝜃 moins 20 sinus 𝜃 est égal à zéro.

Et voilà, nous avons fait tout ce qui était possible avec la première information. Ensuite nous allons étudier ce qui se passe lorsque 𝑝 est égal à 10 newtons. Lorsque 𝑝 vaut 10 newtons, le corps est sur le point de descendre dans le plan. Ceci signifie que la force de frottement agit vers le haut du plan. N’oubliez pas qu’elle agit dans la direction opposée à celle que le corps essaie de déplacer. Donc cette fois, lorsque nous déterminons les forces parallèles au plan, nous obtenons 10 newtons et le frottement vers le haut et 20 sinus 𝜃 vers le bas parallèle au plan.

En remplaçant de nouveau le frottement par 20𝜇 cosinus 𝜃 et notre deuxième équation devient 10 plus 20𝜇 cosinus 𝜃 moins 20 sinus 𝜃 égale zéro. Remarquez maintenant, nous avons une paire d’équations simultanées en 𝜇 et 𝜃. Libérons de l’espace et résolvons-les. Nous allons commencer par éliminer 𝜇. Cela nous donne une équation purement en fonction de 𝜃. Pour éliminer 𝜇, nous allons additionner nos deux équations. Lorsque nous le faisons, nous obtenons que 32 moins 40 sinus 𝜃 est égal à zéro. En réarrangeant, nous trouvons que sinus 𝜃 est 32 sur 40 . Et donc, 𝜃 est l’arcsinus de cette fraction. C’est à peu près 53 degrés.

Maintenant, nous allons utiliser la valeur exacte de 𝜃 dans la prochaine partie de notre calcul. Nous remplaçons alors la valeur de 𝜃 dans l’une ou l’autre de nos équations. Choisissons la deuxième équation. Soit 10 plus 20𝜇 cosinus de 53,13 moins 20 sinus de 53,13 égale zéro. Bien entendu, pour obtenir ce 53,13, nous avons calculé l’arcsinus de 32 sur 40. Donc, le sinus de 53,13 doit être 32 sur 40 ou quatre cinquièmes. Et donc, notre équation se simplifie un peu à 10 plus 20𝜇 cosinus de 53,13 et cetera moins 16 est égal à zéro. Et le cosinus de 53,13 est trois cinquièmes.

Alors, vous avez peut-être remarqué que nous aurions pu calculer ceci sans utiliser la calculatrice. En dessinant un triangle rectangle et en utilisant le fait que sinus 𝜃 est 32 sur 40 ou quatre cinquièmes, nous voyons que le troisième côté de ce triangle rectangle est trois. Et puis puisque cosinus est le côté adjacent sur l’hypoténuse, nous obtenons cosinus 𝜃 est égal à trois cinquièmes. Cette équation se simplifie donc en moins six plus 12𝜇 est égal à zéro. Nous ajoutons six aux deux membres, puis nous divisons par 12. Et nous trouvons que 𝜇 est égal à un demi. En d’autres termes, le coefficient de frottement entre le corps et le plan est un demi.

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