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Vidéo de question : Déterminer les coefficients inconnus dans une fonction définie par morceaux étant donné que la fonction est dérivable en un point donné Mathématiques

Déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏 sachant que la fonction 𝑓 est dérivable en 𝑥 = 1 où 𝑓 (𝑥) = −𝑥² + 4, si 𝑥 ≤ 1 et 𝑓(𝑥) = −2𝑎𝑥 - 𝑏, si 𝑥 >1.

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Transcription de vidéo

Déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏 sachant que la fonction 𝑓 est dérivable en 𝑥 est égal à un où 𝑓 de 𝑥 est égal à moins 𝑥 carré plus quatre si 𝑥 est inférieur ou égal à un et 𝑓 de 𝑥 est égal à moins deux 𝑎𝑥 moins 𝑏 si 𝑥 est supérieur à un.

On nous donne une fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥. On nous dit que cette fonction 𝑓 est dérivable lorsque 𝑥 est égal à un. Nous devons utiliser cette hypothèse pour déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏. La première chose que nous remarquons à ce sujet est que lorsque 𝑥 est égal à un, nous pouvons voir que nous sommes aux extrémités de notre intervalle de la fonction définie par morceaux. En d’autres termes, lorsque 𝑥 est égal à un, notre fonction 𝑓 de 𝑥 passe d’être égale à moins 𝑥 au carré plus quatre à être égale à moins deux 𝑎𝑥 moins 𝑏.

A ce stade, il existe différentes méthodes que nous pourrions utiliser pour essayer de répondre à cette question. Par exemple, nous pourrions être tentés d’utiliser directement la définition de 𝑓 dérivable en 𝑥 égal à un. Cela fonctionnerait. Cependant, puisque notre fonction 𝑓 de 𝑥 est définie par morceaux et que 𝑥 est égal à un est l’une des extrémités de cet intervalle, nous pouvons le faire d’une manière plus simple.

Tout d’abord, nous rappelons que si une fonction est dérivable en un certain point, alors elle doit également être continue en ce point. En d’autres termes, puisque nous savons que 𝑓 est dérivable en 𝑥 est égal à un, nous savons que 𝑓 doit également être continue lorsque 𝑥 est égal à un. Nous pouvons voir quelque chose d’intéressant à propos de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons voir que les deux éléments de cette fonction sont des polynômes. Nous savons que les polynômes sont continus pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Ainsi, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est continue par morceaux.

Pour qu’une fonction continue par morceaux soit continue en ses extrémités, ses extrémités doivent correspondre. En d’autres termes, nous savons que la limite lorsque 𝑥 tend vers un à gauche de 𝑓 de 𝑥 doit être égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers un à droite de 𝑓 de 𝑥.

Maintenant, nous pourrions calculer cette limite directement. Cependant, nous devons nous rappeler que 𝑓 de 𝑥 est une fonction continue par morceaux. Puisque chaque morceau est continu, nous pouvons calculer chacune de ces limites en utilisant la substitution directe. Nous substituons donc 𝑥 est égal à un dans moins 𝑥 au carré plus quatre pour calculer la limite lorsque 𝑥 tend vers un depuis la gauche de 𝑓 de 𝑥. Nous obtenons moins un au carré plus quatre.

Nous pouvons faire la même chose pour calculer la limite lorsque 𝑥 tend vers un depuis la droite. Nous savons que moins deux 𝑎𝑥 moins 𝑏 est une fonction continue. Nous pouvons donc calculer cette limite en utilisant la substitution directe. Nous substituons simplement 𝑥 est égal à un dans moins deux 𝑎𝑥 moins 𝑏. Cela nous donne moins deux 𝑎 fois un moins 𝑏. Puisque nous savons que 𝑓 est continue, nous savons que ces deux limites doivent être égales.

Simplifions maintenant les deux côtés de cette équation. Premièrement, moins un au carré plus quatre est égal à trois. Nous pouvons simplifier le côté droit de cette équation pour donner moins deux 𝑎 moins 𝑏. Seulement, ceci donne une équation avec deux variables. Nous avons donc besoin de plus d’informations pour trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Pour ce faire, nous voudrons utiliser spécifiquement le fait que 𝑓 est dérivable en 𝑥 est égal à un. Nous avons plusieurs façons différentes d’expliquer que 𝑓 est dérivable en 𝑥 est égal à un. Seulement, l’une d’entre elles est beaucoup plus facile à utiliser pour notre fonction 𝑓 de 𝑥.

Nous pouvons voir que les deux parties de 𝑓 de 𝑥 sont définies comme des polynômes. Nous savons déjà comment dériver les polynômes terme par terme en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Ainsi, au lieu d’appliquer directement la définition d’une dérivée à notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous pouvons plutôt regarder la pente lorsque 𝑥 s’approche à partir de la gauche de 𝑓 de 𝑥 et regarder la pente lorsque 𝑥 s’approche à partir de la droite de 𝑓 de 𝑥. En d’autres termes, nous savons que si 𝑓 est dérivable en 𝑥 est égal à un, alors la pente lorsque 𝑥 tend vers un depuis la gauche de 𝑓 de 𝑥 doit être égale à la pente lorsque 𝑓 tend vers un depuis la droite de 𝑓 de 𝑥. Nous utilisons cela parce que nous pouvons facilement trouver une expression pour 𝑓 prime de 𝑥 lorsque 𝑥 est inférieur à un et lorsque 𝑥 est supérieur à un.

Nous avons juste besoin de dériver chaque morceau de 𝑓 de 𝑥 séparément. Nous obtenons 𝑓 prime de 𝑥 est égale à la dérivée de moins 𝑥 au carré plus quatre par rapport à 𝑥 si 𝑥 est inférieur à un et 𝑓 prime de 𝑥 est égale à la dérivée de moins deux 𝑎𝑥 moins 𝑏 par rapport à 𝑥 si 𝑥 est supérieur à un. Cela vaut la peine de répéter qu’à ce stade, nous ne disons pas à quoi 𝑓 prime de 𝑥 est égal lorsque 𝑥 est égal à un. Nous trouvons simplement une expression pour la pente pour toutes les autres valeurs de 𝑥.

Maintenant, nous pouvons calculer ces deux dérivées en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous voulons multiplier par nos exposants de 𝑥 et réduire cet exposant de un. Premièrement, la dérivée de moins 𝑥 au carré plus quatre par rapport à 𝑥 est égal à moins deux 𝑥. Ensuite, pour dériver notre deuxième fonction, nous pouvons utiliser à nouveau la règle des puissances pour la dérivation terme par terme. Cependant, il s’agit également d’une fonction affine. Nous pouvons donc simplement dériver cela en prenant le coefficient de 𝑥, qui est moins deux 𝑎. Cela nous donne 𝑓 prime de 𝑥 est égale à moins deux 𝑥 si 𝑥 est inférieur à un et 𝑓 prime de 𝑥 est égal à moins deux 𝑎 si 𝑥 est supérieur à un.

Maintenant, nous pouvons calculer la pente lorsque 𝑥 approche un depuis la gauche de 𝑓 de 𝑥 et la pente lorsque 𝑥 approche un depuis la droite de 𝑓 de 𝑥. Premièrement, lorsque 𝑥 approche un depuis la gauche, nous pouvons voir que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à moins deux 𝑥. Bien sûr, moins deux 𝑥 est une fonction continue. Nous pouvons donc calculer cela en utilisant la substitution directe. Nous substituons simplement 𝑥 est égal à un. Nous obtenons moins deux fois un, ce qui est égal à moins deux.

Nous pouvons faire exactement la même chose lorsque 𝑥 approche un depuis la droite. Cette fois, 𝑓 prime de 𝑥 sera égale à moins deux 𝑎. Seulement, cette fois, moins deux 𝑎 est une constante. Ainsi, cela équivaut à moins deux 𝑎. Rappelez-vous, on nous dit que 𝑓 de 𝑥 est dérivable lorsque 𝑥 est égal à un. Ainsi, la pente lorsque 𝑥 tend vers un à partir de la gauche de 𝑓 de 𝑥 doit être égale à la pente lorsque 𝑥 tend vers un à partir de la droite de 𝑓 de 𝑥. En d’autres termes, nous pouvons dire que ces deux valeurs sont égales. Nous obtenons que moins deux doit être égal à moins deux 𝑎.

Si nous divisons les deux côtés de cette équation par moins deux, nous voyons que 𝑎 doit être égal à un. Maintenant, pour trouver notre valeur 𝑏, nous substituons 𝑎 est égal à un dans notre équation trois est égal à moins deux 𝑎 moins 𝑏. La substitution de 𝑎 est égale à un nous donne que trois est égal à moins deux fois un moins 𝑏. En simplifiant et en réarrangeant cette équation, nous pouvons voir que 𝑏 doit être égal à moins cinq.

Par conséquent, si la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à moins 𝑥 au carré plus quatre si 𝑥 est inférieur ou égal à un et 𝑓 de 𝑥 est égal à moins deux 𝑎𝑥 moins 𝑏 si 𝑥 est supérieur à un est dérivable lorsque 𝑥 est égal à un, alors nous avons montré que 𝑎 doit être égal à un et 𝑏 doit être égal à moins cinq.

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