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Vidéo de question : Déterminer l’équation correcte d’une représentation graphique donnée Mathématiques

Quelle équation correspond à la courbe rouge ? [A] 𝑦 = 2𝑥³ [B] 𝑦 = 4𝑥³ [C] 𝑦 = 0.5𝑥³ [D] 𝑦 = 𝑥³ [E] 𝑦 = 0.25𝑥³

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Transcription de vidéo

Quelle équation correspond à la courbe rouge ? L’option (A) est 𝑦 égale à deux 𝑥 au cube. L’option (B) est 𝑦 égale à quatre 𝑥 au cube. L’option (C) est 𝑦 égale à 0.5𝑥 au cube. L’option (D) est 𝑦 égale à 𝑥 au cube. Ou bien est-ce l'option (E) 𝑦 égale 0.25𝑥 au cube ?

Dans cette question, on nous donne cinq courbes. Nous devons déterminer laquelle des cinq équations données correspond à la courbe rouge. Pour cela, commençons par observer la courbe rouge. Nous constatons qu'elle a une forme très semblable à celle de la fonction cube : 𝑦 égale à 𝑥 au cube. En effet, si nous examinons les cinq options proposées, nous constatons qu'elles sont toutes des multiples de 𝑥 au cube. Sachant que nous multiplions 𝑥 au cube par une constante, cela veut dire que nous la dilatons verticalement. Il convient de noter que si l'une de ces constantes était négative, cela entraînerait une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Toutefois, dans notre cas, nous n'avons pas à nous en préoccuper car les cinq options proposées ont toutes un facteur positif.

Nous pouvons trouver l'équation de la courbe rouge de plusieurs manières différentes. Nous pourrions par exemple tenter de tracer la courbe 𝑦 égale à 𝑥 au cube sur le même repère et ensuite essayer de déterminer les transformations qui transforment cette courbe en courbe rouge. Même si cela fonctionnerait, ce serait assez difficile. Il suffit de déterminer les coordonnées d'un point qui se trouve sur la courbe rouge et de déterminer laquelle des cinq options données a également ce point sur sa courbe. À titre d'exemple, nous pouvons voir sur la figure donnée que le point de coordonnées un, quatre se trouve sur la courbe rouge. Rappelez-vous que dans la représentation graphique d'une fonction, la valeur 𝑥 indique la valeur d'entrée de la fonction et que la coordonnée 𝑦 correspondante indique la valeur de sortie de la fonction.

Ainsi, si nous disons que la courbe rouge est la courbe 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥, alors nous savons que 𝑓 de un est forcément égale à quatre. Ceci nous donne alors deux manières différentes pour répondre à cette question. Premièrement, si nous disons que la fonction 𝑔 de 𝑥 est notre fonction cube, alors on sait que 𝑔 de un est un au cube, soit égale à un. Nous voulons alors déterminer quelle est la dilatation verticale qui donnera quatre au lieu de un. Pour cela, nous allons devoir multiplier les deux côtés de l'équation par quatre. Autrement dit, nous devons dilater la représentation graphique verticalement d'un facteur de quatre. Ceci nous donnerait que 𝑓 de 𝑥 est quatre 𝑥 au cube, ce qui est l'option (B).

Cependant, ce n'est pas la seule façon pour répondre à cette question. Nous pouvons également substituer 𝑥 égale à un dans les cinq options données afin de déterminer celle qui contient le point un, quatre. Si nous substituons 𝑥 est égale à un dans l'option (A), nous obtenons 𝑦 est égale à deux fois un au cube, ce qui nous donne deux. Ainsi, l'option (A) passe par le point de coordonnées un, deux. Elle ne correspond donc pas à la courbe rouge. En substituant 𝑥 est égale à un dans l'option (B), cela nous donne 𝑦 est égale à quatre fois un au cube, ce qui donne quatre. Ainsi, la courbe de l'option (B) passe par le point un, quatre.

Pour bien faire, nous devons également vérifier les trois autres options, car il se peut que plusieurs de ces courbes passent par le point de coordonnées un, quatre. Nous voyons que lorsque 𝑥 est égale à un, dans l'option (C), on obtient 𝑦 est égale à 0,5. Dans le cas de l'option (D), lorsque 𝑥 est égale à un, 𝑦 est égale à un. Pour l'option (E), lorsque 𝑥 est égale à un, 𝑦 est égale à 0,25. Ainsi, seule la courbe donnée par l'option (B) 𝑦 est égale à quatre 𝑥 au cube passe par le point de coordonnées un, quatre, ce qui implique qu’il s’agit de la seule équation possible pour la courbe rouge.

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