Vidéo question :: Calcul des indices de réfraction à partir du pouvoir de dispersion d’un prisme Physique

Transcription de la vidéo

Un prisme a un pouvoir dispersif de 0,076. La lumière blanche est dispersée par le prisme. Pour la plus grande longueur d’onde qui le traverse, le prisme a un indice de réfraction de 1,37. Quel est l’indice de réfraction du prisme pour la longueur d’onde la plus petite qui le traverse ? Répondez à deux décimales près.

Donc, pour cette question, on nous donne le pouvoir dispersif d’un prisme, et l’indice de réfraction de la plus grande longueur d’onde qui le traverse. Étant donné cette information, on nous demande de calculer l’indice de réfraction du prisme pour la longueur d’onde la plus petite qui le traverse. Disons que ce triangle représente le prisme de la question et que cette flèche épaisse représente la lumière blanche entrant dans le prisme. Ensuite, nous pouvons rappeler qu’un prisme avec des indices de réfraction différents pour différentes longueurs d’onde de la lumière dispersera ou étalera les différentes couleurs qui composent la lumière blanche qui le traverse. Le pouvoir dispersif du prisme est un nombre qui indique la propension du prisme à séparer ces différentes lumières colorées. Plus le prisme disperse la lumière, plus ce nombre est grand.

Nous désignons généralement le pouvoir dispersif d’un prisme avec le symbole 𝜔 𝛼. Et pour cette question, on nous dit que le pouvoir dispersif de notre prisme est de 0,076. Nous pouvons donc écrire que 𝜔 𝛼 est égal à 0,076 pour ce prisme. On nous donne également l’indice de réfraction de la plus grande longueur d’onde passant par le prisme. Et puisque nous savons que la lumière rouge a la plus grande longueur d’onde de toutes les couleurs de la lumière visible, nous savons qu’il s’agit de l’indice de réfraction de la lumière rouge. On nous dit donc que l’indice de réfraction de la lumière rouge est égal à 1,37. Et nous désignons généralement cet indice de réfraction par le symbole 𝑛 indice min car nous savons que puisque la lumière rouge est la moins déviée par le prisme, elle doit subir l’indice de réfraction minimal parmi toutes les lumières colorées réfractées par le prisme.

D’autre part, nous savons que la lumière bleue, qui a la longueur d’onde la plus faible de toutes les couleurs qui composent la lumière blanche, est la plus déviée par le prisme. Nous savons donc qu’elle doit subir l’indice de réfraction maximal. Pour cette raison, nous appelons l’indice de réfraction de la lumière bleue 𝑛 max. Et c’est précisément la grandeur que nous voulons calculer dans cette question. Faisons donc un peu d’espace sur l’écran et voyons comment calculer cet indice de réfraction. Nous avons donc les grandeurs qui nous sont données dans la question: le pouvoir dispersif du prisme 𝜔 𝛼 est égal à 0,076, et l’indice de réfraction pour la plus grande longueur d’onde de la lumière, que nous appelons 𝑛 min, est égal à 1,37. Et nous voulons trouver l’indice de réfraction pour la longueur d’onde la plus petite 𝑛 max.

Commençons donc par rappeler l’équation qui relie ces trois grandeurs. Cette équation est 𝜔 𝛼, le pouvoir dispersif du prisme, est égal à 𝑛 max moins 𝑛 min divisé par 𝑛 max plus 𝑛 min divisé par deux moins un. Puisque la grandeur que nous voulons calculer est 𝑛 max, notre objectif sera de réorganiser cette équation de sorte que 𝑛 max soit le sujet de l’équation. Cependant, puisque 𝑛 max apparaît deux fois à droite de cette équation, à la fois en haut et en bas de la fraction, il y aura quelques étapes à suivre pour réorganiser cette équation afin que 𝑛 max soit le sujet. Donc, pour simplifier un peu, commençons par remplacer les valeurs que nous connaissons.

On nous dit que le pouvoir dispersif du prisme 𝜔 𝛼 est égal à 0,076. Et puisque le côté gauche de notre équation est juste 𝜔 𝛼, nous pouvons écrire que le côté gauche de l’équation est juste égal à 0,076. Nous savons également que 𝑛 min est égal à 1,37. Nous pouvons donc remplacer les deux 𝑛 min à droite de notre équation par cette valeur. Cela nous donne une équation qui ressemble à ceci. Et maintenant, la seule variable inconnue que nous avons est 𝑛 max, ce qui est exactement ce que nous voulons trouver. Essayons maintenant de simplifier le dénominateur du membre droit de notre équation. Et nous pouvons commencer par diviser la fraction qui apparaît dans le dénominateur en deux. Autrement dit, nous pouvons écrire la fraction 𝑛 max plus 1,37 divisé par deux comme deux grandeurs : 𝑛 max divisé par deux plus 1,37 divisé par deux.

Ensuite, nous pouvons calculer 1,37 divisé par deux et le remplacer par sa valeur numérique, qui est 0,685. La dernière simplification que nous pouvons faire avant de commencer à réorganiser cette équation consiste à combiner les deux nombres du dénominateur, 0,685 moins un, que nous pouvons calculer comme étant moins 0,315. Nous avons donc maintenant une équation où 𝑛 max est la seule variable inconnue qui reste, et cette équation est 0,076 est égal à 𝑛 max moins 1,37 divisé par 𝑛 max sur deux moins 0,315. Et nous sommes maintenant prêts à réorganiser cette équation pour faire de 𝑛 max le sujet.

La première étape de cette réorganisation est de multiplier les deux côtés de l’équation par tout ce qui apparaît dans le dénominateur à droite. Nous multiplions donc les deux côtés de l’équation par 𝑛 max divisé par deux moins 0,315. La raison pour laquelle nous faisons cela est de simplifier le côté droit de l’équation. Puisque le terme 𝑛 max divisé par deux moins 0,315 apparaît à la fois dans le numérateur et dans le dénominateur à droite, cette expression se simplifie. Et nous nous retrouvons avec le membre à droite qui donne simplement 𝑛 max moins 1,37. Donc, notre équation simplifiée se lit maintenant 𝑛 max divisé par deux moins 0,315 le tout multiplié par 0,076 est égal à 𝑛 max moins 1,37.

Notre prochaine étape consiste à commencer à simplifier le côté gauche de notre équation en multipliant les parenthèses. Et nous le faisons en multipliant les deux termes entre parenthèses par 0,076. Cela nous donne deux termes à gauche, 0,076 fois 𝑛 max divisé par deux moins 0,076 fois 0,315. Il y a maintenant quelques nombres que nous pouvons combiner à gauche. Commençons donc par combiner les 0.076 divisés par deux que nous avons au premier terme. Cela donne 0,038, donc notre premier terme se lit 0,038 fois 𝑛 max. Et nous pouvons également calculer le produit 0,076 fois 0,315, que nous trouvons égale à 0,02394.

Ensuite, nous voulons obtenir les deux termes contenant 𝑛 max du même côté de notre équation et les deux termes qui ne sont que des nombres de l’autre côté de notre équation. Nous pouvons commencer par ajouter 1,37 aux deux côtés de l’équation. Nous le faisons parce que nous avons maintenant moins 1,37 plus 1,37 à droite de notre équation. Donc, cela donne zéro. Et à gauche, nous pouvons ajouter les deux termes moins 0,02394 plus 1,37, qui nous donnent 1,34606. Déplaçons un peu cette équation vers le haut de notre écran et continuons maintenant pour obtenir les deux termes impliquant 𝑛 max à droite de l’équation.

Nous faisons cela en soustrayant le terme 0,038 fois 𝑛 max des deux côtés de l’équation. Cela nous donne 0,038𝑛 max moins 0,038𝑛 max sur le côté gauche, de sorte que ces deux termes donnent zéro. Et à droite, nous avons les deux termes contenant 𝑛 max, et c’est le seul endroit où 𝑛 max apparaît dans notre équation. Et notre équation donne maintenant 1,34606 est égal à 𝑛 max moins 0,038 fois 𝑛 max. Puisque le membre à droite implique uniquement des termes qui incluent 𝑛 max, factorisons 𝑛 max à partir de ces deux termes. Cela se fait en écrivant 𝑛 max puis en le multipliant par toutes les grandeurs qui apparaissent devant 𝑛 max dans la ligne ci-dessus. Nous avons donc un de ce terme qui est juste 𝑛 max moins 0,038 de ce terme.

C’est formidable parce que cette parenthèse multipliant 𝑛 max n’est faite que de nombres. Nous pouvons donc simplifier encore plus si nous calculons que un moins 0,038 est égal à 0,962. Cela nous donne presque exactement ce que nous voulons, qui est 𝑛 max tout seul. Donc, pour finalement obtenir cela, divisons les deux côtés de cette équation par 0,962. Cela nous permet de simplifier 0,962 en haut et en bas du membre de droite, ne laissant que 𝑛 max. Et nous avons enfin une équation pour la grandeur que nous voulons, qui est 𝑛 max. Donc, en calculant cette fraction sur notre calculatrice, nous pouvons écrire que 𝑛 max est égal à 1,39923 etcetera.

C’est presque notre réponse finale. Mais rappelons que la question nous a demandé de donner notre réponse à deux décimales près. Si nous faisons cet arrondi, nous pouvons donner notre réponse pour l’indice de réfraction du prisme pour la longueur d’onde la plus petite de la lumière qui le traverse comme 𝑛 max est égal à 1,40.