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Vidéo de question : Déterminer la valeur d’une inconnue dans une équation du second degré en utilisant la relation entre le coefficient du terme de degré deux et ses racines Mathématiques

Si les racines de l’équation 5𝑥² - 2𝑘𝑥 + 5 = 0 sont égales, quelles sont les valeurs possibles pour 𝑘 ?

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Transcription de vidéo

Si les racines de l’équation cinq 𝑥 au carré moins deux 𝑘𝑥 plus cinq égal à zéro sont égales, quelles sont les valeurs possibles pour 𝑘 ?

Donc, ce que nous avons ici est une expression du second degré. Et avec une expression du second degré, ce que nous pouvons faire, c’est utiliser le discriminant pour nous aider à savoir si nos racines seront égales, si elles seront des racines réelles ou si elles ne seront pas des racines réelles. Donc, le discriminant est 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐. Mais qu’est-ce ça signifie ? Que vaut 𝑏, que vaut 𝑎 et que vaut 𝑐 ? Eh bien, 𝑎, 𝑏 et 𝑐 font partie de notre expression du second degré quand nous l’avons sous la forme ci-contre. Donc, nous avons 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Ainsi, 𝑎 est le coefficient de 𝑥 au carré, 𝑏 est le coefficient de 𝑥 et 𝑐 est notre terme constant, ou notre valeur numérique.

Eh bien, avec notre expression du second degré, nous avons 𝑎 égal cinq. Et c’est parce que c’est le coefficient de 𝑥 au carré. 𝑏 est égal à moins deux 𝑘. Et soyez très prudent ici. Assurez-vous de tenir compte du moins, donc du signe. Et ainsi, notre 𝑐 va être égal à cinq. Mais en quoi cela ainsi que notre discriminant sont-ils utiles ? Eh bien, le discriminant est utile car il peut nous dire combien de racines notre expression du second degré aura. Ainsi, par exemple, si nous avons 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 strictement inférieur à zéro, alors il n’y a pas de racines réelles. Si 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 strictement supérieur à zéro, alors il y a des racines réelles. Et si 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 égal à zéro, alors les racines seront égales.

Et j’ai ajouté quelques schémas pour montrer à quoi ressembleraient les graphiques. Donc, nous pouvons voir que s’il n’y a pas de racines, la courbe ne couperait pas du tout l’axe des abscisses 𝑥. S’il existe des racines réelles, alors la courbe coupera notre axe des abscisses 𝑥 à deux endroits distincts. Et si les racines étaient égales, cela couperait simplement en un seul point l’axe des abscisses 𝑥. Très bien, alors, nous savons maintenant ce qu’est le discriminant. Et nous savons comment il pourrait être utilisé. Utilisons-le pour résoudre notre problème.

Eh bien, dans notre question, on nous dit que les racines sont égales. Donc, par conséquent, c’est ce troisième scénario qui nous intéresse lorsque 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est égal à zéro. Donc, si nous substituons nos valeurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐, nous pouvons écrire moins deux 𝑘 le tout au carré, qui correspond à notre 𝑏, moins quatre multiplié par 𝑎, qui vaut cinq, multiplié par cinq, qui correspond à 𝑐. Et alors, le tout est égal à zéro parce que, comme nous l’avons dit, nous avons des racines égales.

Donc, ce que nous allons obtenir, c’est quatre 𝑘 au carré moins 100 est égal à zéro. Donc, si nous ajoutons 100 à chaque membre de l’équation, nous allons obtenir quatre 𝑘 au carré égal à 100. Et ensuite, ce que nous devons faire, c’est diviser les deux membres de l’équation par quatre, car nous voulons savoir ce que vaudra 𝑘. Donc, nous obtenons 𝑘 au carré est égal à 25. Ainsi, si nous prenons la racine carrée des deux membres de l’équation, nous allons obtenir 𝑘 égal à plus ou moins cinq.

C’est parce que si vous prenez la racine carrée de 𝑘 au carré, vous obtenez 𝑘. Et si vous prenez la racine carrée de 25, nous allons obtenir plus ou moins cinq. En effet, cinq multiplié par cinq nous donne 25, et moins cinq multiplié par moins cinq nous donne 25. Par conséquent, étant donné que les racines de l’équation cinq 𝑥 au carré moins deux 𝑘𝑥 plus cinq égal à zéro sont égales, les valeurs possibles pour 𝑘 sont cinq et moins cinq.

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