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Vidéo de question : Utiliser les propriétés des suites géométriques pour déterminer un terme inconnu Mathématiques

Déterminez la valeur de 𝑚 pour la suite géométrique −4, 𝑚, 2𝑚 + 3, ⋯.

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Transcription de vidéo

Déterminez la valeur de 𝑚 pour la suite géométrique moins quatre, 𝑚, deux 𝑚 plus trois, ainsi de suite.

On nous donne les trois premiers termes d’une suite géométrique. Les deuxième et troisième termes sont également donnés en fonction de 𝑚. Nous obtenons chaque terme d'une suite géométrique en multipliant le terme précédent par une constante. Cette constante est appelée la raison de la suite. Autrement dit, dans cette suite, pour passer de moins quatre à 𝑚, nous devrons multiplier moins quatre par 𝑟. Par ailleurs, 𝑚 fois 𝑟 est égal à deux 𝑚 plus trois.

Pour déterminer 𝑚, posons quelques équations. Nous pouvons dire que 𝑚 est égale à moins quatre fois 𝑟 et que 𝑚 fois r est égal à deux 𝑚 plus trois. À ce stade, nous avons deux équations. Cependant, puisque nous cherchons 𝑚, il serait utile de pouvoir remplacer 𝑟 en fonction de 𝑚 dans la deuxième équation. Nous pouvons y arriver en réécrivant l'équation 𝑟 fois moins quatre égale 𝑚, en divisant les deux côtés de l'équation par moins quatre et en réarrangeant notre équation initiale pour dire que 𝑟 est égale à moins 𝑚 sur quatre. Nous appelons cette équation l'équation trois.

En substituant l'équation trois à l'équation deux, nous obtenons 𝑚 fois moins 𝑚 sur quatre est égal à deux 𝑚 plus trois. En multipliant les 𝑚 entre eux, nous obtenons moins 𝑚 au carré sur quatre égal à deux 𝑚 plus trois. Nous multiplions ensuite les deux côtés de l'équation par quatre. Moins 𝑚 au carré est égale à huit 𝑚 plus 12.

Puisque nous avons ce 𝑚 au carré, nous avons affaire à une équation du second degré. Nous allons rendre cette équation égale à zéro pour la résoudre. Pour cela, nous ajoutons 𝑚 au carré aux deux côtés de l'équation. Nous avons donc zéro égale à 𝑚 au carré plus huit 𝑚 plus 12.

Il est possible de résoudre cette équation en la factorisant. Nous avons besoin de deux facteurs de 12 qui, une fois additionnés, sont égaux à huit. Ce seront deux et six. Ainsi, zéro est égal à 𝑚 plus deux fois 𝑚 plus six. Si nous mettons les deux facteurs à zéro, nous trouvons que 𝑚 est égale à moins six ou 𝑚 est égale à moins deux. Que cela signifie-t-il dans le cadre de cette suite géométrique ?

Si 𝑚 est égal à moins six, alors la suite est moins quatre, moins six, moins neuf, et ainsi de suite. Dans le cas où 𝑚 est égale à moins deux, la suite est donc : moins quatre, moins deux, moins un. Dans les deux cas, il s'agit bien de suites géométriques. Pour aller de moins quatre à moins deux, nous multiplions par un demi. Pour aller de moins deux à moins un, nous multiplions par un demi. En revanche, pour passer de moins quatre à moins six, nous multiplions par trois demi. Pour aller de moins 6 à moins 9, nous multiplions par trois demi.

Puisqu’aucune autre information ne nous est donnée sur cette suite, nous ne pouvons qu'affirmer qu'il existe deux solutions valables pour 𝑚. Soit 𝑚 égale moins six, soit 𝑚 égale moins deux.

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