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Vidéo de question : Déterminer la hauteur d’un cône à partir de la circonférence de sa base et de son apothème Mathématiques

Une feuille de papier en forme de secteur de rayon 29 cm et d’aire 203𝜋 cm² est pliée pour former un cône droit, en collant ensemble les rayons 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶. Quelle est la hauteur du cône ? Rappelons que l’aire du secteur circulaire est donnée par la moitié du produit de son rayon et de la longueur de son arc.

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Transcription de vidéo

Une feuille de papier en forme de secteur de rayon 29 centimètres et d’aire 203 pi centimètres carrés est pliée pour former un cône droit, en collant ensemble les rayons 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶. Quelle est la hauteur du cône ? Rappelons que l’aire du secteur circulaire est donnée par la moitié du produit de son rayon et de la longueur de son arc.

On nous donne un diagramme très utile sur lequel on peut voir que l’aire de 203 pi centimètres carrés correspond à l’aire de la surface courbe du cône. Dans cette question, on nous demande de déterminer la hauteur du cône. On nous dit que le cône est un cône droit, donc sa hauteur, représentée ici en orange, relie le centre de sa base circulaire à son sommet. Définissons la hauteur du cône comme étant égale à ℎ centimètres.

On pourrait se dire que puisque le rayon du secteur est de 29 centimètres, alors la hauteur du cône est aussi de 29 centimètres. Mais il se trouve que c’est l’apothème du cône qui mesure 29 centimètres, et non sa hauteur. Donc, pour déterminer combien mesure notre hauteur de ℎ centimètres, on peut former ce triangle à l’intérieur de notre cône. Il s’agit d’un triangle rectangle, car la hauteur du cône est la distance entre le sommet du cône et le projeté orthogonal du sommet sur la base du cône. On a un triangle rectangle dont on connaît l’une des longueurs et on cherche à déterminer une autre de ses longueurs, donc si on déterminait la troisième longueur, on pourrait appliquer le théorème de Pythagore.

Alors, quelle est cette longueur ? Eh bien, on sait qu’il s’agit du rayon du cercle qui forme la base du cône. Alors notons cette longueur 𝑟. Avant de pouvoir appliquer le théorème de Pythagore, on va devoir déterminer le rayon 𝑟 de la base circulaire du cône. Notons que le cercle qui forme la base du cône n’est pas le même que le cercle à l’origine de ce secteur. Son rayon est plus petit, donc il ne sera pas égal à 29 centimètres. On pourrait déterminer le rayon de ce cercle si on connaissait sa circonférence, c’est-à-dire la longueur de son contour.

Et il se trouve que la circonférence de ce cercle est égale à la longueur de l’arc de ce secteur. En effet, n’oublions pas que notre cône a été formé en enroulant ce secteur. Donc déterminer la longueur de l’arc de ce secteur nous donnera également la circonférence du petit cercle. On nous aide dans l’énoncé en nous rappelant que l’aire d’un secteur est égale à la moitié du produit de son rayon et de la longueur de son arc. Notons 𝐿 la longueur de l’arc dans cette formule.

On sait que l’aire du secteur est de 203 pi centimètres carrés. On sait aussi que son rayon est de 29 centimètres. Et on cherche à déterminer 𝐿, la longueur de l’arc. On peut multiplier par deux des deux côtés pour obtenir 406 pi égale 29𝐿. Puis, en divisant par 29 des deux côtés, on obtient 406 sur 29, fois pi égale 𝐿. Or 406 sur 29 est égal à 14. En ajoutant notre unité de mesure, on obtient que la longueur de l’arc est de 14 pi centimètres.

Et comme la longueur de l’arc du secteur correspond à la circonférence du petit cercle, on sait à présent que le petit cercle a une circonférence de 14 pi centimètres. Et on est maintenant en mesure de calculer son rayon. Faisons un peu de place pour les calculs. On rappelle que la circonférence et le rayon d’un cercle sont liés par la formule suivante : la circonférence 𝐶 est égale à deux fois pi fois le rayon. On applique cette formule en remplaçant 𝐶 par 14 pi, ce qui nous donne 14 pi égale deux pi 𝑟. En divisant par pi des deux côtés, on obtient 14 égale deux 𝑟. On peut ensuite diviser par deux des deux côtés pour obtenir que le rayon 𝑟 est égal à sept centimètres.

Mais le problème n’est pas encore résolu. On a déterminé que le rayon de la base du cône est de sept centimètres afin de pouvoir ensuite calculer la hauteur du cône. Pour calculer cette hauteur, on va utiliser une dernière formule : le théorème de Pythagore. D’après le théorème de Pythagore, dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Dans le triangle à l’intérieur du cône, on sait que la longueur de l’hypoténuse, c, est égale à 29 centimètres. Les valeurs 𝑎 et 𝑏 correspondent aux longueurs des deux autres côtés. L’un de ces côtés mesure ℎ centimètres, car c’est la hauteur du cône, et l’autre mesure sept centimètres.

En remplaçant ces valeurs dans le théorème de Pythagore, on obtient ℎ au carré plus sept au carré égale 29 au carré. Sept au carré est égal à 49 et 29 au carré est égal à 841. On peut ensuite soustraire 49 des deux côtés de l’équation pour obtenir ℎ au carré égale 792. Enfin, on prend la racine carrée des deux côtés en ignorant la valeur négative, car la hauteur ℎ est une longueur.

On peut alors choisir de convertir ce résultat en une approximation décimale ou de le laisser sous forme de racine carrée. Si on choisit la seconde option, on peut simplifier notre racine davantage. Pour cela, on remarque que 792 est le produit de 36 et 22. Et comme 36 est le carré de six, on peut le réécrire sous la forme six fois racine de 22. Ainsi, notre réponse est que la hauteur du cône est égale à six fois la racine de 22 centimètres. Si on préfère répondre en donnant une valeur décimale, on peut dire que la hauteur du cône est de 28,14 centimètres au centième près.

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