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Vidéo de question : Déterminer la position relative d’un point par rapport à un cercle à partir de la puissance de ce point Mathématiques

Déterminez la position du point 𝐴 par rapport au cercle de centre 𝑁 si 𝑃_(𝑁)(𝐴)=814.

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Transcription de vidéo

Déterminez la position du point 𝐴 par rapport au cercle de centre 𝑁 si 𝑃 indice 𝑁 de 𝐴 égale 814.

Rappelons d'abord ce que signifie cette notation 𝑃 indice 𝑁 de 𝐴. Si nous avons un cercle de centre 𝑁 et un point 𝐴, alors 𝑃 indice 𝑁 de 𝐴 désigne la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle de centre 𝑁. Elle se calcule en utilisant la formule 𝑃 indice 𝑁 de 𝐴 égale 𝐴𝑁 au carré moins 𝑟 au carré, autrement dit, le carré de la distance entre le point 𝐴 et le centre du cercle moins le carré du rayon du cercle.

On nous dit ici que 𝑃 indice 𝑁 de 𝐴 est égale à 814. Ainsi, nous savons que 𝐴𝑁 au carré moins 𝑟 au carré égale 814. Il en résulte donc que 𝐴𝑁 au carré est égale à 𝑟 au carré plus 814 et donc que 𝐴𝑁 au carré est supérieure à 𝑟 au carré puisque nous ajoutons une valeur positive à 𝑟 au carré pour obtenir 𝐴𝑁 au carré. Sachant que 𝐴𝑁 et 𝑟 sont des longueurs, ils sont donc positifs et il en découle que 𝐴𝑁 est supérieure à 𝑟. Ceci veut dire que la distance entre les points 𝐴 et 𝑁 est supérieure au rayon du cercle. Ainsi, elle est supérieure à la distance entre le point 𝑁 et la circonférence du cercle. Nous pouvons donc en conclure que le point 𝐴 est à l'extérieur du cercle 𝑁.

En effet, nous pouvons aussi rappeler un résultat général concernant le signe de la puissance d'un point et la position de ce point par rapport à un cercle. Si 𝑃 indice 𝑁 de 𝐴 est positive, nous en déduisons que 𝐴𝑁 est supérieure à 𝑟 et donc que le point 𝐴 est à l'extérieur du cercle. En revanche, si 𝑃 indice 𝑁 de 𝐴 est négative, alors 𝐴𝑁 est inférieure à 𝑟 et donc 𝐴 est à l'intérieur du cercle. Enfin, si 𝑃 indice 𝑁 de 𝐴 est égale à zéro, alors 𝐴𝑁 est égale à 𝑟. Ainsi, la distance entre le point 𝐴 et le centre du cercle est la même que celle entre le centre du cercle et tout point de sa circonférence. Le point 𝐴 est donc situé sur la circonférence du cercle.

Pour cette question, la valeur de 𝑃 indice 𝑁 de 𝐴 est 814, qui est supérieure à zéro et donc cela confirme que le point 𝐴 est à l'extérieur du cercle.

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