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Vidéo de question : Multiplication et division de nombres complexes sous forme trigonométrique et exponentielle Mathématiques

Sachant que 𝑧₁ = 8(cos 240° + 𝑖 sin 240°), 𝑧₂ = 4(cos (5𝜋/4) + 𝑖 sin (5𝜋/4)) et 𝑧₃ = 8(cos 45° + 𝑖 sin 45°), déterminez (𝑧₁𝑧₂^6)/(𝑧₃^4). Exprimez votre réponse sous la forme exponentielle.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑧 un égal huit cosinus de 240 degrés plus 𝑖 sinus de 240 degrés. 𝑧 deux égale quatre cosinus de cinq 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus de cinq 𝜋 sur quatre. Et 𝑧 trois égale huit cosinus de 45 degrés plus 𝑖 sinus de 45 degrés. Déterminez 𝑧 un fois 𝑧 deux puissance six divisé par 𝑧 trois puissance quatre ; exprimez votre réponse sous la forme exponentielle.

Dans cette question, nous étudions trois nombres complexes. Et nous devons effectuer plusieurs opérations arithmétiques sur ceux-ci, telles que des multiplications, des divisions et des puissances. Nous pourrions aborder ce problème en utilisant la formule de Moivre. Mais vous avez peut-être remarqué que la question demande une réponse sous forme exponentielle. Pour cette raison, nous allons plutôt commencer par convertir ces nombres complexes sous forme exponentielle, puis effectuer les opérations dans un deuxième temps.

Rappelons d’abord les formes trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe. Vous remarquerez que dans ces deux formes, le nombre complexe 𝑧 est exprimé en fonction de deux paramètres principaux : son module 𝑟 et son argument 𝜃. On peut passer de la forme trigonométrique à la forme exponentielle en prenant les valeurs de 𝑟 et 𝜃 d’une expression et en les remplaçant dans l’autre expression.

Avant de faire cela, uniformisons les unités de 𝜃. En observant nos nombres complexes, nous pouvons voir que 𝜃 est exprimé en degrés pour 𝑧 un et 𝑧 trois et en radians pour 𝑧 deux. Nous pouvons alors convertir toutes les mesures de degrés vers radians en rappelant la relation suivante. 360 degrés est égal à deux 𝜋 radians. Cela nous permet de calculer que 240 degrés est égal à quatre 𝜋 sur trois radians. Et que 90 degrés est égal à 𝜋 sur quatre radians.

Maintenant que nous avons trouvé ces valeurs, nous pouvons reformuler les nombres complexes avec 𝜃 exprimé en radians. 𝑧 un est égal à huit fois cosinus de quatre 𝜋 sur trois plus 𝑖 sinus de quatre 𝜋 sur trois. 𝑧 deux reste inchangé, puisque 𝜃 était déjà en radians. Et 𝑧 trois est égal à huit fois cosinus de 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus de 𝜋 sur quatre.

Maintenant que nous avons fait cela, essayons de convertir ces trois nombres complexes sous forme trigonométrique en forme exponentielle. On rappelle pour cela qu’il suffit de reporter les paramètres 𝑟 et 𝜃 dans cette expression. En commençant par 𝑧 un, sa valeur de 𝑟 est huit et la valeur de 𝜃 est quatre 𝜋 sur trois. 𝑧 un est donc égal à huit 𝑒 puissance quatre 𝜋 sur trois 𝑖.

En suivant la même méthode pour 𝑧 deux, on trouve qu’il est égal à quatre 𝑒 puissance cinq 𝜋 sur quatre 𝑖. Et enfin, 𝑧 trois est égal à huit 𝑒 puissance 𝜋 sur quatre 𝑖.

Maintenant que nous avons nos trois nombres complexes sous forme exponentielle, regardons les opérations que nous allons effectuer. On a 𝑧 un fois 𝑧 deux puissance six divisé par 𝑧 trois puissance quatre. Et nous pouvons rendre nos calculs un peu plus simples en nous souvenant que un sur 𝑥 puissance 𝑎 est égal à 𝑥 puissance moins 𝑎. Cela nous permet de reformuler cette expression par 𝑧 un fois 𝑧 deux puissance six fois 𝑧 trois puissance moins quatre.

Faisons maintenant un peu de place en effaçant la forme trigonométrique de nos nombres complexes. Et en laissant quelques espaces pour nos futurs calculs. Nous pouvons à présent nous pencher sur l’application des puissances à ces nombres complexes.

Le premier nombre complexe, 𝑧 un, n’a aucun exposant. Mais nous choisissons cependant d’exprimer le huit comme une puissance de deux. Vous verrez un peu plus tard pourquoi nous faisons cela. Huit est donc égal à deux puissance trois. Nous pouvons faire la même chose pour 𝑧 deux et 𝑧 trois, en constatant que quatre est égal à deux au carré et huit est à nouveau égal à deux puissance trois.

Nous pouvons donc remplacer ces valeurs. Et nous devons maintenant élever 𝑧 deux à la puissance six. On fait cela en calculant deux au carré puissance six fois 𝑒 puissance cinq 𝜋 sur quatre 𝑖, le tout puissance six. On peut alors simplifier cela en utilisant la propriété suivante. 𝑥 puissance 𝑎 puissance 𝑏 est égal à 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑏.

En appliquant cette propriété, on trouve que 𝑧 deux puissance six est égal à deux puissance deux fois six fois 𝑒 puissance cinq 𝜋 sur quatre fois six fois 𝑖. En simplifiant davantage, on calcule que deux fois six est bien sûr égal à 12. Et que cinq 𝜋 sur quatre fois six est égal à 15𝜋 sur deux. Remplaçons donc ces valeurs simplifiées.

Et nous pouvons ainsi passer à 𝑧 trois, qui est élevé à la puissance moins quatre. Comme avec le nombre complexe précédent, on peut simplifier les exposants. On a ici deux puissance trois fois moins quatre, ce qui est bien sûr égal à moins 12. Et ici entre parenthèses, on a 𝜋 sur quatre fois moins quatre, ce qui est égal à moins quatre 𝜋 sur quatre, soit moins 𝜋. Et nous pouvons également substituer ces valeurs simplifiées.

Nous avons maintenant élevé 𝑧 deux et 𝑧 trois aux puissances demandées. Mais avant de continuer, nous allons effectuer une dernière simplification. Vous remarquerez peut-être que nos nombres complexes contiennent différentes puissances fractionnaires de 𝑒. En ignorant le facteur 𝑖, on a quatre 𝜋 sur trois, 15𝜋 sur deux et moins 𝜋.

Et la prochaine étape de nos calculs sera beaucoup plus simple si chacune de ces fractions est au même dénominateur. Puisque trois, deux et un sont tous des diviseurs de six, nous allons choisir ce nombre comme dénominateur commun. Quatre 𝜋 sur trois est équivalent à huit 𝜋 sur six. 15𝜋 sur deux est équivalent à 45𝜋 sur six. Et moins 𝜋 est équivalent à moins six 𝜋 sur six.

Nous pouvons ainsi réécrire les nombres complexes en remplaçant les puissances de 𝑒. Et nous allons maintenant voir pourquoi nous avons fait tout cela en passant à l’étape de multiplication. Puisque nous avons calculé 𝑧 un, 𝑧 deux et 𝑧 trois élevés aux puissances demandées, nous pouvons les remplacer dans notre expression. Cela donne ceci.

Mais nous pouvons simplifier les calculs en nous souvenant de la propriété suivante. 𝑥 puissance 𝑎 fois le même nombre 𝑥 élevé à une puissance différente 𝑏 est égal à 𝑥 puissance 𝑎 plus 𝑏. Cette propriété nous permet de former des sommes pour les exposants de deux et de 𝑒. C’est la raison pour laquelle nous avons exprimé tous les modules comme des puissances de deux. Et changé les exposants fractionnaires de 𝑒 pour qu’ils soient tous au même dénominateurs

En calculant ces sommes, on trouve la réponse suivante. Et on peut maintenant reformuler le deux puissance trois par huit. Nous avons ainsi montré que 𝑧 un fois 𝑧 deux puissance six divisé par 𝑧 trois puissance quatre est égal à huit 𝑒 puissance 47𝜋 sur six 𝑖.

Bien que nous ayons apparemment trouvé la réponse à la question, il nous reste une dernière étape. Notre réponse est sous forme exponentielle, avec une valeur de 𝑟 égale à huit et une valeur 𝜃 égale à 47𝜋 sur six. Mais bien que cette réponse soit valide, lorsque l’on travaille avec des nombres complexes sous forme exponentielle ou trigonométrique, on préfère généralement que la valeur de 𝜃 soit supérieure ou égale à zéro et inférieure à deux 𝜋.

En exprimant cet intervalle sur six, nous pouvons voir que notre valeur de 𝜃 est très clairement supérieure à 12𝜋 sur six. Afin de résoudre ce problème, nous pouvons utiliser la propriété suivante, qui provient de la périodicité qui se produit dans le plan complexe. Dans le plan complexe, 𝑒 puissance 𝑖𝜃 est égal à 𝑒 puissance 𝑖 fois 𝜃 plus deux 𝜋𝑛, où 𝑛 est un entier.

Pour notre nombre complexe, la valeur de 𝜃 est 47𝜋 sur six. En choisissant une valeur négative de 𝑛 - dans ce cas, 𝑛 égale moins trois – on peut réduire la valeur de 𝜃 pour qu’elle se situe dans l’intervalle souhaité. 𝜃 plus deux 𝜋 fois moins trois est égal à ceci. Et en continuant les calculs, on trouve que le résultat de cette somme est 11𝜋 sur six, ce qui se situe effectivement dans l’intervalle souhaité.

Pour récapituler, en utilisant cette propriété de l’exponentielle, nous avons montré que dans le plan complexe, une valeur 𝜃 de 47𝜋 sur six est équivalente à une valeur de 11𝜋 sur six. Et cela nous permet de remplacer la valeur de 𝜃 dans notre réponse. Puisque 𝜃 est maintenant dans l’intervalle désiré, nous avons atteint la fin de notre démonstration. Nous avons ainsi montré que 𝑧 un fois 𝑧 deux puissance six divisé par 𝑧 trois puissance quatre est égal à huit 𝑒 puissance 11𝜋 sur six 𝑖.

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