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Vidéo de question : Calcul de la période et de la longueur de l’orbite d’une planète à partir du rayon orbital et de la vitesse de la planète Physique

Deux planètes, A et B, gravitent autour d’une étoile. Les deux planètes ont des orbites circulaires. La planète A tourne autour de l’étoile à une distance de 1,5 × 10⁸ km et à une vitesse de 30 km / s. La planète B tourne autour de l’étoile à une distance de 4,8 × 10⁸ km et à une vitesse de 17 km / s. Combien de fois la longueur de l’orbite de la planète B est-elle supérieure à celle de la planète A ? Combien de fois le temps mis par à la planète B pour parcourir une orbite autour de l’étoile est-il supérieur à celui de la planète A ? Donnez votre réponse à la une décimale prèsprèsprès.

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Transcription de vidéo

Deux planètes, A et B, gravitent autour d’une étoile. Les deux planètes ont des orbites circulaires. La planète A tourne autour de l’étoile à une distance de 1,5 fois 10 puissance huit kilomètres et à une vitesse de 30 kilomètres par seconde. La planète B tourne autour de l’étoile à une distance de 4,8 fois 10 puissance huit kilomètres et à une vitesse de 17 kilomètres par seconde. Combien de fois la longueur de l’orbite de la planète B est-elle supérieure à celle de la planète A ?

D’accord, on nous a dit que nous avions affaire à deux planètes, A et B, qui tournent toutes les deux autour d’une étoile. Et nous savons aussi que les deux planètes ont des orbites circulaires. Alors disons que voilà l’étoile en orange. Le bleu représente l’orbite de la planète A, la tache bleue ici. Et le rose représente l’orbite de la planète B, la tache rose.

Maintenant, les orbites des deux planètes sont censées être circulaires. Et on nous a dit que cette distance, le rayon de l’orbite de la planète A, est de 1,5 fois 10 puissance huit kilomètres, car on nous a dit que la planète A est en orbite autour de l’étoile à une distance de 1,5 fois 10 à la puissance huit kilomètres loin de l’étoile. Et le rayon de l’orbite de la planète B est de 4,8 fois 10 puissance huit kilomètres parce que, encore une fois, c’est la distance entre le début et la planète B. Et il suit une orbite circulaire.

Maintenant, en plus de cela, nous connaissons les vitesses des deux planètes. Nous savons que la planète A se déplace à 30 kilomètres par seconde. Et la planète B a une vitesse de 17 kilomètres par seconde. Maintenant, la première partie de la question nous demande de combien de fois la longueur de l’orbite de la planète B est supérieure à celle de la planète A. Donc, pour répondre à cette question, nous devons d’abord considérer la longueur de l’orbite de la planète B et la longueur de l’orbite de la planète A. Eh bien, dans les deux cas, la longueur de l’orbite sera la distance parcourue par chaque planète en un tour autour de l’étoile, en d’autres termes, la distance autour du cercle. Ou, du moins, c’est le cas pour la planète A. Et pour la planète B, c’est la distance parcourue par la planète tout autour de ce cercle-ci.

En d’autres mots, nous essayons de trouver les circonférences des deux cercles. Maintenant, nous pouvons rappeler que la circonférence 𝐶 d’un cercle est donnée en multipliant deux par 𝜋 par le rayon du cercle 𝑟. Ainsi, nous pouvons d’abord trouver la longueur de l’orbite de la planète A en disant que la circonférence du cercle, c’est-à-dire l’orbite de A, est égale à deux 𝜋 fois le rayon de l’orbite de A. Et que, deuxièmement, la circonférence de l’orbite de B est égale à deux 𝜋 fois le rayon de l’orbite de B où nous avons dit que la distance de l’étoile à l’orbite de A est 𝑟 indice A. Et la distance entre l’étoile et l’orbite de B est 𝑟 indice B.

Maintenant, nous voulons savoir de combien de fois la longueur de l’orbite de la planète B est supérieure à celle de la planète A. En d’autres mots, ce qu’on nous a dit c’est que la longueur de l’orbite de la planète B 𝐶 B est, disons, 𝑛 fois plus grande que la longueur de l’orbite de la planète A où cette valeur de 𝑛 est ce que nous cherchons. Combien de fois l’orbite de la planète B est-elle supérieure à celle de la planète A ? Donc, pour déterminer 𝑛, nous divisons simplement les deux côtés de l’équation par 𝐶 indice A. Lorsque nous faisons cela, les 𝐶 indice A sur le côté droit s’annulent. Et il ne nous reste plus que 𝑛 à droite.

À ce stade, nous pouvons substituer les expressions de 𝐶 indice B et 𝐶 indice A sur le côté gauche. Et donc nous obtenons deux 𝜋𝑟 indice B divisé par deux 𝜋𝑟 indice A. Mais alors à ce stade, les deux 𝜋 du numérateur et du dénominateur s’annulent, ce qui donne simplement 𝑟 B sur 𝑟 A. Ensuite, nous pouvons insérer les valeurs de 𝑟 B et 𝑟 A, c’est cette valeur pour 𝑟 B et cette valeur pour 𝑟 A, puis calculer la valeur de l’expression sur le côté gauche de l’équation qui, une fois simplifiée, donne 3,2. Par conséquent, notre réponse à cette partie de la question est que la longueur de l’orbite de la planète B est 3,2 fois supérieure à la longueur de l’orbite de la planète A.

Passons maintenant à la vitesse des planètes sur leurs orbites. Combien de fois plus longtemps faut-il à la planète B pour orbiter autour de l’étoile que pour la planète A ? Donnez votre réponse à une décimale près. D’accord, donc cette fois, au lieu de simplement considérer la longueur de leurs orbites, nous allons considérer les temps d’orbite des planètes. En d’autres mots, combien de temps faut-il à la planète A pour faire le tour de son orbite une fois, par rapport au temps nécessaire à la planète B pour faire le tour de son orbite une fois. Pour résoudre ce problème, nous devons nous rappeler que la vitesse d’un objet est définie comme la distance parcourue par cet objet divisée par le temps mis par cet objet pour parcourir cette distance.

Maintenant, nous avons déjà vu les distances parcourues par les planètes autour de l’étoile. C’est la longueur de chaque orbite. Mais maintenant, nous prenons aussi en compte la vitesse de chaque planète. On nous a dit que la planète A se déplace à 30 kilomètres par seconde. Et la planète B se déplace à 17 kilomètres par seconde. Donc, dans le cas des deux planètes, nous connaissons la vitesse à laquelle chaque planète se déplace. Et nous connaissons la distance parcourue par chaque planète. C’est la circonférence des cercles que nous avons vus plus tôt. Et donc nous connaissons la vitesse et la distance. Ainsi, nous pouvons déterminer le temps nécessaire à chaque planète pour tourner une fois autour de l’étoile.

Nous le faisons en réarrangeant l’équation. Nous avons multiplié les deux côtés de l’équation par le temps divisé par la vitesse. De cette façon, sur le côté gauche, la vitesse s’annule. Et sur le côté droit, le temps s’annule. En fin de compte, le temps nécessaire pour parcourir une orbite entière est égal à la distance de cette orbite divisée par la vitesse à laquelle la planète se déplace. Donc, pour la planète A, on peut dire que le temps pris pour une orbite entière est égal à la distance parcourue par la planète A divisée par la vitesse de la planète A. Et pour la planète B, on peut dire que le temps pris pour une orbite entière est égal à la longueur d’une orbite entière divisée par la vitesse de la planète B.

Mais alors nous avons vu plus tôt que la distance parcourue par une planète est égale à la circonférence du cercle qui était égale à deux fois 𝜋 fois le rayon du cercle. Donc, au lieu de 𝑑 indice A, nous pouvons le remplacer par deux 𝜋𝑟 indice A. Et 𝑑 indice B peut être remplacé par deux 𝜋𝑟 indice B. Maintenant, encore une fois, nous essayons de savoir de combien de fois l’un de ces temps est plus grand que l’autre. On peut donc dire que le temps nécessaire à la planète B pour tourner autour de l’étoile est cette fois-ci 𝑚 fois plus long que le temps nécessaire à la planète A pour tourner autour de l’étoile. Et donc si nous voulons déterminer cette valeur de 𝑚, nous divisons les deux côtés de l’équation par 𝑡 indice A. De cette façon, 𝑡 indice A s’annule sur le côté droit. Et nous nous retrouvons avec 𝑚.

On peut donc dire que 𝑚 est égal à 𝑡 indice B divisé par 𝑡 indice A. Mais au lieu de 𝑡 indice B et 𝑡 indice A, nous avons remplacé les côtés droits de chaque équation. Maintenant, nous pouvons voir que nous avons une fraction divisée par une autre fraction. Cela équivaut à multiplier les deux fractions ensemble lorsqu’on inverse la fraction qui était initialement au le dénominateur. Et nous pouvons donc voir que nous avons deux 𝜋 au numérateur et deux 𝜋 au dénominateur lorsque nous multiplions ces deux fractions. Ceux-ci s’annulent. Et donc tout ce qui nous reste est 𝑟 indice B, c’est ce 𝑟 indice B ici, multiplié par 𝑆 indice A, c’est ce 𝑆 indice A, au numérateur. Et au dénominateur, nous avons 𝑆 indice B multiplié par 𝑟 indice A. Et donc cette fraction est égale à la valeur de 𝑚.

Donc, lorsque nous insérons les valeurs, nous avons les valeurs de 𝑟 indice B, le rayon de la planète B, soit 4,8 fois 10 puissance huit kilomètres, multiplié par la vitesse de la planète A, 30 kilomètres par seconde. Et nous divisons cela par la vitesse de la planète B, 17 kilomètres par seconde, multipliée par le rayon orbital de la planète A, 1,5 fois 10 puissance huit kilomètres.

Ensuite, nous pouvons voir que toutes nos unités sont cohérentes. Nous pouvons voir, par exemple, que cette puissance de kilomètres s’annulera avec cette puissance de kilomètres et que cette puissance de kilomètres par seconde s’annulera avec cette puissance de kilomètres par seconde. Donc, nous n’avons que des nombres dans notre fraction. Et il n’y aura pas d’unité pour la réponse, ce qui est logique parce que la réponse va être une valeur de 𝑚. Et bien sûr, 𝑚 est la valeur qui nous donne combien de temps il faut à la planète B pour orbiter autour de l’étoile par rapport à la planète A.

Donc, lorsque nous calculons cela, nous trouvons que 𝑚 est de 5,64…, et ainsi de suite. Mais rappelez-vous, on nous a demandé de donner notre réponse à une décimale près. Alors, voici la première décimale. Et ce sera la suivante, la valeur de quatre, qui nous indiquera ce qui arrive à la première décimale. Eh bien, quatre est inférieur à cinq. Donc, cette valeur restera exactement la même. Cela ne va pas s’arrondir vers le haut. Donc, à une décimale près, notre réponse est 5,6. Et par conséquent, on peut dire qu’à une décimale près, il faut à la planète B 5.6 fois plus de temps qu’à la planète A pour orbiter autour de l’étoile.

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