Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Calcul du produit vectoriel de deux vecteurs représentés sur un quadrillage en 3D Physique

Le schéma illustre deux vecteurs, 𝐂 et 𝐃, dans un espace tridimensionnel. Les deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Chacun des carreaux du quadrillage a une longueur de côté de 1. Calculez 𝐂 × 𝐃.

04:35

Transcription de vidéo

Le schéma illustre deux vecteurs, 𝐂 et 𝐃, dans un espace tridimensionnel. Les deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Chacun des carreaux du quadrillage a une longueur de côté de un. Calculez le produit vectoriel de 𝐂 croix 𝐃.

Il s’agit donc d’une question sur les produits vectoriels. Et plus précisément, on nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝐂 croix 𝐃, où les vecteurs 𝐂 et 𝐃 nous sont donnés sous la forme de flèches sur un schéma. Commençons par rappeler la définition du produit vectoriel. Nous allons considérer deux vecteurs généraux 𝐀 et 𝐁 et supposer qu’ils se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Ensuite, nous pouvons écrire ces vecteurs en fonction de leurs composantes comme une composante 𝑥, avec un indice 𝑥, multipliée par 𝐢 chapeau plus une composante 𝑦, avec un indice 𝑦, multipliée par 𝐣 chapeau.

Rappelons que 𝐢 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦. Ensuite, le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁 est la composante 𝑥 de 𝐀 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐁 moins la composante 𝑦 de 𝐀 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐁. Et tout cela est multiplié par 𝐤 chapeau, qui est un vecteur unitaire dans la direction 𝑧. Ce que cette expression nous dit, c’est que pour calculer le produit vectoriel de 𝐂 croix 𝐃, alors nous allons devoir calculer les composantes 𝑥 et 𝑦 des vecteurs 𝐂 et 𝐃.

Or, on nous dit dans la question que chaque carreau du quadrillage sur la figure a une longueur de côté égale à un. Donc, pour obtenir les composantes 𝑥 et 𝑦 de chacun de nos vecteurs, il suffit de compter le nombre de carreaux qui correspondent à l’étendue des vecteurs dans chacune des directions 𝑥 et 𝑦. Nous allons commencer par le vecteur 𝐂. Le vecteur 𝐂 s’étend d’une, deux, trois, quatre unités dans la direction 𝑥 et d’une, deux, trois, quatre, cinq unités dans la direction 𝑦. On peut donc écrire le vecteur 𝐂 comme une composante 𝑥 de quatre multipliée par 𝐢 chapeau plus une composante 𝑦 de cinq multipliée par 𝐣 chapeau.

Ensuite, regardons le vecteur 𝐃. Nous voyons que 𝐃 s’étend d’une, deux, trois, quatre unités dans le sens négatif de la direction 𝑥 et une, deux, trois, quatre, cinq unités dans le sens négatif de la direction 𝑦. On peut donc écrire le vecteur 𝐃 comme moins quatre 𝐢 chapeau moins cinq 𝐣 chapeau.

Maintenant que nous avons exprimé chacun des vecteurs 𝐂 et 𝐃 en fonction de leurs composantes, nous sommes prêts à calculer le produit vectoriel de 𝐂 croix 𝐃. En regardant notre expression générale pour le produit vectoriel, nous voyons que le premier terme est la composante 𝑥 du premier vecteur du produit multiplié par la composante 𝑦 du deuxième vecteur du produit. Dans notre cas, le premier vecteur du produit est 𝐂 et le deuxième vecteur est 𝐃. Cela signifie donc que nous avons besoin de la composante 𝑥 de 𝐂, qui vaut quatre, multipliée par la composante 𝑦 de 𝐃, qui est de moins cinq.

Ensuite, nous soustrayons un deuxième terme. Le deuxième terme est la composante 𝑦 du premier vecteur du produit multipliée par la composante 𝑥 du deuxième vecteur du produit. Donc, dans notre cas, il s’agit de la composante 𝑦 de 𝐂, qui vaut cinq, multipliée par la composante 𝑥 de 𝐃, qui est de moins quatre. Et puis, enfin, tout cela est multiplié par le vecteur unitaire 𝐤 chapeau.

Tout ce qui reste à faire maintenant est de calculer la valeur de cette expression ici. Lorsque nous faisons cela, nous constatons que le premier terme, quatre multiplié par moins cinq, nous donne moins 20. Et le deuxième terme, cinq multiplié par moins quatre, nous donne également moins 20. Et donc nous avons que le produit vectoriel de 𝐂 croix 𝐃 est égal à moins 20 moins moins 20 multiplié par 𝐤 chapeau. Lorsque nous soustrayons moins 20 de moins 20, nous obtenons zéro. Et donc notre réponse finale est que le produit vectoriel de 𝐂 croix 𝐃 est égal à zéro 𝐤 chapeau.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.