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Vidéo de question : Étude du mouvement d’un objet sur un plan incliné lisse sous l’action d’une certaine force Mathématiques

Un objet de masse 𝑚 est placé sur un plan lisse incliné d’un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale, où tan 𝜃 = 3/4. Une force de 77 kgp agit sur l’objet le long de la ligne de plus grande pente vers le haut du plan. Sachant que sous l'action de cette force, l'objet commence à se déplacer vers le haut du plan, parcourant une distance de 196 cm en 2 secondes, déterminez la masse de l’objet 𝑚. On prendra 𝑔 = 9,8 m / s².

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Transcription de vidéo

Un objet de masse 𝑚 est placé sur un plan lisse incliné d’un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale, où tan 𝜃 est égal aux trois quarts. Une force de 77 kilogrammes-poids agit sur l’objet le long de la pente du plan. Étant donné que cette force amène l’objet à monter le plan et qu’il parcourt 196 centimètres en deux secondes, trouvez la masse de l’objet 𝑚. Considérez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde carrée.

Avant de faire des calculs, on va simplement commencer par esquisser un schéma du scénario. On a un objet de masse 𝑚 placé sur un plan incliné par rapport à l’horizontale. Puisque l’objet a une masse 𝑚, on sait que la force vers le bas qu’il exerce sur le plan est la masse multipliée par l’accélération de la pesanteur. Appelons cela 𝑚𝑔 pour le moment. Il est incliné d’un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale, où tan 𝜃 est égal aux trois quarts. Alors, ce qu’on ne va pas faire avec cette équation, c’est la résoudre pour 𝜃. Au lieu de cela, on va l’utiliser plus tard pour déterminer la valeur exacte de sin 𝜃. On va faire cela dans un instant.

On a une force agissant parallèlement au plan. L’objet pèse 77 kilogrammes, comme indiqué. Le plan est lisse, il n’existe donc aucune force de frottement sur l’objet. Et cela signifie que la seule autre force qui nous intéresse est la réaction normale du plan sur l’objet, comme indiqué. Et donc, on va utiliser l’équation 𝐹 égale 𝑚𝑎 ; la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. Et ensuite on va résoudre pour les forces parallèles au plan. On nous dit que l’objet commence à monter sur le plan. Donc, on va supposer que l’accélération est positive dans ce sens.

Et donc, trouvons la somme des forces agissant dans cette direction. On a 77 kilogrammes-poids qui agit vers le haut du plan. Alors, on va travailler en newtons ici. Et on rappelle que le poids d’un kilogramme est égal à 9,8 newtons. Alors la raison pour laquelle on convertit en newtons c’est parce que nous mesurons le poids de l’objet, la masse multipliée par l’accélération de la pesanteur, en newtons. Et on doit s’assurer que toutes nos forces sont dans la même unité. Cela signifie que pour trouver combien de newtons il y a dans un poids de 77 kilogrammes, on multiplie 77 par 9,8, c’est-à-dire 754,6 newtons. Donc, on a une force de 754,6 newtons agissant vers le haut et parallèle au plan.

Mais qu’en est-il de la force sur l’objet vers le bas du plan ? Cela n’agit pas dans une direction parallèle ou perpendiculaire au plan. Et donc, on trace un triangle rectangle. Et on voit que les deux autres côtés de ce triangle rectangle sont les composantes de ce poids, qui sont parallèles et perpendiculaires au plan. L’angle inclus est 𝜃. Et on nomme le côté qu’on veut calculer, c’est-à-dire le côté du triangle parallèle au plan comme 𝑥 ou 𝑥 newtons. On cherche à trouver le côté opposé et on a l’hypoténuse. Donc, on peut dire que puisque le sin 𝜃 est le côté opposé sur l’hypoténuse, le sin 𝜃 ici doit être 𝑥 sur 𝑚𝑔, ce qui signifie que 𝑥 doit être égal à 𝑚𝑔 fois sin 𝜃.

Mais quelle est la valeur de sin 𝜃 ? Eh bien, pour le savoir, on utilise le fait que tan 𝜃 est égal aux trois quarts. On peut tracer un triangle rectangle avec un angle inclus de 𝜃. Et puisque tan 𝜃 est le côté opposé sur l’adjacent, on sait que le côté opposé de ce triangle est de trois unités et l’adjacent est de quatre unités. En utilisant le théorème de Pythagore ou en reconnaissant qu’on a un triplet de Pythagore, on voit que l’hypoténuse dans ce triangle est de cinq unités. Sinus de 𝜃 est le côté opposé sur l’hypoténuse. Donc, pour notre valeur de 𝜃, le sin 𝜃 est trois sur cinq ou trois cinquièmes. Donc, on obtient que 𝑥 est égal à 𝑚𝑔 fois les trois cinquièmes. On simplifie cela aux trois cinquièmes 𝑚𝑔 et on voit qu’il agit dans le sens opposé à la force qui pousse l’objet vers le haut du plan. Donc, on le soustrait. La force globale agissant sur l’objet est alors de 754,6 moins trois cinquièmes de 𝑚𝑔. Ceci est égal à 𝑚𝑎, la masse fois l’accélération.

Mais quelle est l’accélération ? Pour calculer l’accélération, on considère la dernière phrase de cette question. Cela nous indique que l’objet parcourt 196 centimètres en deux secondes. On travaille en mètres par seconde, donc qu’il parcourt 1,96 mètres en deux secondes. Sa vitesse de départ, 𝑢, est nulle et on veut calculer son accélération, 𝑎. Alors, utilisons la formule qui relie ces quatre variables : 𝑠 est égal à 𝑢𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré. En substituant nos valeurs on obtient 1,96 est égal à zéro plus un demi fois 𝑎 fois 2 au carré. Cela donne 1,96 égal à deux 𝑎. Et si on divise par deux, on obtient que l’accélération de l’objet est égale à 0,98 mètre par seconde carrée.

On va remplacer 𝑎 dans notre équation d’origine par 0,98. Et lorsqu’on le fait, notre équation devient 754,6 moins trois cinquièmes 𝑚𝑔 est égal à 0.98𝑚. On a maintenant une équation en 𝑚, qu’on peut résoudre facilement. On commence par ajouter les trois cinquièmes 𝑚𝑔 des deux côtés. Ensuite, on factorise 𝑚 au côté droit et on obtient 𝑚 fois 0,98 plus trois cinquièmes 𝑔. Et on nous dit de prendre 𝑔 égal à 9,8. Ainsi, ce côté droit devient 𝑚 fois 0,98 plus trois cinquièmes fois 9,8. Pour calculer 𝑚, on divise par 0,98 plus les trois cinquièmes fois 9,8 et cela nous donne la valeur de 110. On travaillait initialement en kilogrammes-poids et on a converti en newtons. Donc, on veut que notre masse soit en kilogrammes.

La masse de l’objet 𝑚 est de 110 kilogrammes.

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