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Vidéo de question : Résoudre les inégalités du second degré Mathématiques

Résolvez l’inégalité (𝑥 + 9)(𝑥 - 2) ≤ 22𝑥 - 74.

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Transcription de vidéo

Résolvez l’inégalité 𝑥 plus neuf facteur de 𝑥 moins deux inférieur ou égal à 22𝑥 moins 74. Nous allons résoudre cette inégalité en trois étapes.

Tout d’abord, nous allons réorganiser l’inégalité que nous avons, en la mettant sous la forme 𝑓 de 𝑥 est inférieure ou égale à zéro. Ensuite, nous allons tracer la courbe représentative de la fonction d’expression de 𝑓 de 𝑥. Puis nous allons voir que, une fois que nous aurons représenté la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥, nous pourrons conclure.

Donc, naturellement, nous commençons par notre première étape. Nous écrivons les inégalités que nous avons. Nous développons les parenthèses du membre de gauche, de sorte que 𝑥 plus neuf facteur de 𝑥 moins deux devient 𝑥 au carré plus sept 𝑥 moins 18. Nous ajoutons 74 à chaque membre, nous obtenons donc 𝑥 au carré plus sept 𝑥 plus 56 pour le membre de gauche et seulement 22𝑥 pour le membre de droite.

Et enfin, nous soustrayons 22𝑥 aux deux membres pour obtenir 𝑥 au carré moins 15𝑥 plus 56 inférieur ou égal à zéro. Nous avons écrit l’inégalité sous la forme requise pour la première étape, nous sommes donc prêts à passer à la deuxième étape.

Bien, donc maintenant nous devons représenter graphiquement la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥. Que représente 𝑓 de 𝑥 ? Eh bien, c’est le membre de gauche de l’inéquation que nous avons obtenue après avoir terminé la première étape. Nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 est l’expression d’une fonction du second degré. Et bien sûr, pour représenter graphiquement une fonction du second degré, il est très utile de connaître son expression factorisée car elle indique l’intersection de sa courbe avec l’axe des abscisses 𝑥.

Essayons donc de factoriser 𝑓 de 𝑥. Nous recherchons deux nombres dont la somme vaut moins 15 et dont le produit vaut 56. Deux nombres qui satisfont à ces exigences sont moins sept et moins huit.

Et donc 𝑓 de 𝑥 une fois factorisée donne 𝑥 moins sept facteur de 𝑥 moins huit. Essayons donc de représenter graphiquement. Nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 a des zéros en 𝑥 égal sept et 𝑥 égal huit, donc nous savons que sa courbe doit passer par les points sept, zéro et huit, zéro, qui sont marqués.

Nous savons également que comme 𝑓 de 𝑥 est une fonction du second degré, sa courbe sera une parabole. Donc, la seule question est de savoir si c’est une parabole orientée vers le haut ou vers le bas. Comment pouvons-nous le savoir ? Eh bien, pour la courbe associée à 𝑓 de 𝑥 égal 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, si le coefficient 𝑎, de 𝑥 carré, est supérieur à zéro, alors nous avons une parabole orientée vers le haut et si 𝑎 est inférieur à zéro, alors nous avons une parabole orientée vers le bas. Alors, dans quelle situation sommes-nous ici ?

Le coefficient de 𝑥 au carré est juste un, ce qui est supérieur à zéro, et nous avons donc une parabole orientée vers le haut. Par conséquent, la courbe représentant la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 ressemble à ceci. Maintenant, nous avons une idée de la courbe de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥. Bien sûr, cette courbe n’est pas particulièrement précise, mais elle est suffisante pour traiter ce dont nous avons besoin.

Nous pouvons maintenant conclure. L’inégalité que nous essayons de résoudre maintenant est 𝑓 de 𝑥 inférieure ou égale à zéro. 𝑓 de 𝑥 est inférieure ou égale à zéro lorsque la courbe associée est sous l’axe des abscisses 𝑥, ce qui se produit entre 𝑥 égal sept et 𝑥 égal huit.

Voilà donc la solution de l’inéquation de manière informelle, mais nous devons la rendre mathématique. Tout d’abord, nous devons clarifier ce que nous entendons par, 𝑥 égal sept et 𝑥 égal huit inclus dans l’ensemble de solutions de cette inégalité.

En regardant le graphique, nous pouvons nous rappeler que 𝑓 de sept est nul et est donc bien inférieur ou égal à zéro ; de même, 𝑓 de huit est nul et satisfait donc 𝑓 de 𝑥 inférieur ou égal à zéro. Donc, 𝑥 égal sept et 𝑥 égal huit sont inclus dans les ensembles solutions.

Voici une façon d’exprimer cela mathématiquement ; nous disons que sept est inférieur ou égal à 𝑥 qui est inférieur ou égal à huit. Et le fait que nous utilisons des signes inférieurs ou égaux plutôt que des signes strictement inférieurs nous indique que sept et huit sont des valeurs possibles pour 𝑥.

Nous pouvons également exprimer ceci en utilisant la notation d’ensemble et la notation d’intervalle. Nous disons donc que 𝑥 appartient à l’intervalle sept, huit. Et le fait que nous utilisons ici des crochets plutôt que des parenthèses nous indique que les points d’extrémités sept et huit sont inclus dans cet intervalle.

Récapitulons ce que nous avons fait. Nous avons pris cette inégalité et l’avons réarrangée sous la forme 𝑓 de 𝑥 inférieure ou égale à zéro ; c’était la première étape. Si l’inégalité avait été juste un signe strictement inférieur à, nous réorganiserions bien sûr de manière à ce que 𝑓 de 𝑥 soit inférieur à zéro. L’important est que, du côté droit de l’inégalité, quoi qu’il arrive, nous ayons zéro.

Nous avons ensuite pris ce 𝑓 de 𝑥 et nous avons tracé la courbe associée, nous avons factorisé 𝑓 de 𝑥 pour nous permettre de le faire. Enfin, nous avons conclu à partir du graphique quelle était la solution.

Il nous fallait deux choses dans le graphique pour pouvoir conclure : nous avions besoin des intersections de la courbe avec l’axe des abscisses 𝑥, sept et huit et nous devions également connaître l’orientation de la parabole qui passe par ces deux points.

Si nous avions dessiné une parabole orientée vers le bas, nous aurions obtenu la mauvaise réponse. Pour vérifier que nous avons la bonne réponse, vous pourrez vérifier que les valeurs à l’intérieur de l’intervalle que nous avons, satisfont bien l’inégalité initiale que nous avions : 𝑥 plus neuf facteur de 𝑥 moins deux est inférieur ou égal à 22𝑥 moins 74. Et de plus, vous pourrez vérifier que les valeurs en dehors de cet intervalle ne satisfont pas l’inéquation.

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