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VidĂ©o de question : DĂ©terminer la limite, en un point, de fonctions rationnelles Mathématiques

Calculez lim_(đ‘„ → −1) ((đ‘„âˆ’6)(đ‘„ÂČ+2đ‘„+1))/(đ‘„ÂČ−6đ‘„âˆ’7).

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Transcription de vidéo

Calculez la limite quand đ‘„ tend vers moins un de đ‘„ moins six multipliĂ© par đ‘„ au carrĂ© plus deux đ‘„ plus un, le tout divisĂ© par đ‘„ au carrĂ© moins six đ‘„ moins sept.

Dans cette question, on nous demande de dĂ©terminer la limite quand đ‘„ tend vers moins un d’une fonction. On peut voir que le numĂ©rateur de cette fonction est un polynĂŽme du troisiĂšme degrĂ© et son dĂ©nominateur un polynĂŽme du second degrĂ©. C’est un quotient de polynĂŽme, donc notre fonction est une fonction rationnelle. Par consĂ©quent, on peut essayer de calculer la limite de cette fonction en utilisant la substitution directe. Pour cela, on remplace đ‘„ par moins un dans notre fonction rationnelle. Cela nous donne moins un moins six multipliĂ© par moins un au carrĂ© plus deux fois moins un plus un, le tout divisĂ© par moins un au carrĂ© moins six fois moins un moins sept.

En faisant les calculs au numĂ©rateur et au dĂ©nominateur, on obtient zĂ©ro divisĂ© par zĂ©ro. C’est une forme indĂ©terminĂ©e. Ce qui signifie qu’on ne peut pas dĂ©terminer cette limite par substitution directe uniquement. On va devoir appliquer d’autres formes de manipulations. Et puisque le numĂ©rateur et le dĂ©nominateur de notre fonction sont des polynĂŽmes, on peut essayer de les factoriser. On souhaite factoriser entiĂšrement les polynĂŽmes du second degrĂ© de notre numĂ©rateur et de notre dĂ©nominateur.

Il existe plusieurs façons de le faire. Par exemple, on pourrait utiliser la formule quadratique ou le solveur d’équations de notre calculatrice. Mais il existe une autre mĂ©thode trĂšs utile et c’est cette derniĂšre que nous allons voir. Lorsqu’on a remplacĂ© đ‘„ par moins un dans nos deux polynĂŽmes, on a obtenu zĂ©ro dans les deux cas. Et d’aprĂšs le thĂ©orĂšme de factorisation des polynĂŽmes, si moins un est la racine d’un polynĂŽme, alors đ‘„ plus un est un facteur de ce polynĂŽme. Par consĂ©quent, đ‘„ plus un est un facteur de nos deux polynĂŽmes. Donc on peut utiliser cela pour factoriser nos deux polynĂŽmes.

On commence par le polynĂŽme du second degrĂ© de notre dĂ©nominateur. Si đ‘„ plus un est un facteur de ce polynĂŽme, alors le premier terme du second facteur doit ĂȘtre Ă©gal Ă  đ‘„, car đ‘„ fois đ‘„ est Ă©gal Ă  đ‘„ au carrĂ©. Et si on multiplie nos deux constantes, on doit obtenir moins sept. Donc le second facteur de ce polynĂŽme doit ĂȘtre Ă©gal Ă  đ‘„ moins sept. On peut procĂ©der de la mĂȘme façon pour le polynĂŽme du second degrĂ© de notre numĂ©rateur. Puisque le produit des deux constantes doit ĂȘtre Ă©gal Ă  un, la constante du second facteur doit ĂȘtre Ă©gale Ă  un. Et le produit de nos deux termes en đ‘„ doit donner đ‘„ au carrĂ©. On en dĂ©duit que notre second facteur doit ĂȘtre Ă©gal Ă  đ‘„ plus un. On peut maintenant utiliser ces rĂ©sultats pour rĂ©Ă©crire notre limite.

En factorisant notre numĂ©rateur et notre dĂ©nominateur, on a pu rĂ©Ă©crire la limite donnĂ©e dans l’énoncĂ© en la limite quand đ‘„ tend vers moins un de đ‘„ moins six multipliĂ© par đ‘„ plus un multipliĂ© par đ‘„ plus un, le tout divisĂ© par đ‘„ moins sept multipliĂ© par đ‘„ plus un. Mais on ne peut toujours pas utiliser la substitution directe pour calculer cette limite. En effet, cela nous donnerait un facteur de zĂ©ro au numĂ©rateur et au dĂ©nominateur. Donc on obtiendrait Ă  nouveau la forme indĂ©terminĂ©e zĂ©ro divisĂ© par zĂ©ro.

Cependant, n’oublions pas que lorsqu’on cherche la limite quand đ‘„ tend vers moins un, on s’intĂ©resse Ă  ce qui se passe quand đ‘„ se rapproche de plus en plus de moins un. Mais đ‘„ ne doit pas ĂȘtre Ă©gal Ă  moins un. Et si đ‘„ n’est pas Ă©gal Ă  moins un, alors đ‘„ plus un n’est pas Ă©gal Ă  zĂ©ro. Donc, on peut simplifier par le facteur commun đ‘„ plus un au numĂ©rateur et au dĂ©nominateur. Cela n’affectera pas la valeur de notre limite. Notre limite devient alors la limite quand đ‘„ tend vers moins un de đ‘„ moins six multipliĂ© par đ‘„ plus un, le tout divisĂ© par đ‘„ moins sept. Une fois de plus, il s’agit de la limite d’une fonction rationnelle, donc on peut essayer de la calculer par substitution directe. On remplace đ‘„ par moins un dans notre fonction rationnelle.

Cela nous donne moins un moins six multipliĂ© par moins un plus un, le tout divisĂ© par moins un moins sept. On peut voir que l’un des facteurs du numĂ©rateur est Ă©gal Ă  zĂ©ro, donc le numĂ©rateur est Ă©gal Ă  zĂ©ro et le dĂ©nominateur est Ă©gal Ă  moins huit. Donc on obtient zĂ©ro divisĂ© par moins huit, ce qui est bien sĂ»r Ă©gal Ă  zĂ©ro. Par consĂ©quent, en factorisant entiĂšrement notre fonction rationnelle, en la simplifiant et en utilisant la substitution directe, on a montrĂ© que la limite quand đ‘„ tend vers moins un de đ‘„ moins six multipliĂ© par đ‘„ au carrĂ© plus deux đ‘„ plus un, le tout divisĂ© par đ‘„ au carrĂ© moins six đ‘„ moins sept est Ă©gale Ă  zĂ©ro.

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