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Vidéo de question : Utiliser les propriétés des combinaisons pour déterminer la valeur d’un rapport donné Mathématiques

Déterminez la valeur de ²¹𝐶₇ / ²¹𝐶₆ sans utiliser une calculatrice.

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Transcription de vidéo

Déterminez la valeur du rapport de la combinaison sept parmi 21 à la combinaison six parmi 21 sans utiliser une calculatrice.

Pour calculer la valeur de la combinaison sept parmi 21 et la combinaison six parmi 21, nous avons une formule générale. Cette formule est la suivante : pour choisir 𝑟 parmi 𝑛, il y a factorielle 𝑛 divisée par factorielle 𝑛 moins 𝑟 fois factorielle 𝑟 façons de faire. Cependant, nous voyons qu’ici nous avons en fait des factorielles.

Faisons donc un rapide récapitulatif pour comprendre ce qu'est une factorielle. Par exemple, si j'ai 𝑛 factorielle, alors cela signifie le produit de tous les entiers positifs qui sont inférieurs ou égaux à 𝑛. Si par exemple, nous avons une factorielle de quatre, cela sera égal à quatre multiplié par trois multiplié par deux multiplié par un.

Très bien ! Alors, maintenant, nous savons quelle est la formule générale permettant de déterminer ce que représente la combinaison 𝑟 parmi 𝑛. Nous avons également rappelé ce qu'est une factorielle. Nous pouvons donc déterminer la valeur du rapport de la combinaison sept parmi 21 à la combinaison six parmi 21.

Nous allons commencer par calculer la valeur de la combinaison sept parmi 21. Ceci sera égal à factorielle 21 sur factorielle sept multipliée par factorielle 21 moins sept. Ceci parce que notre 𝑛 vaut 21 et notre 𝑟 vaut sept. Tout ceci va être égal à factorielle 21 divisée par factorielle sept multipliée par factorielle 14. Nous allons laisser ceci sous cette forme pour l'instant car nous ne devons pas utiliser une calculatrice dans cette question. Ainsi, nous pouvons nous arrêter à cette étape sans devoir effectuer d'autres calculs.

Bien, maintenant, calculons la valeur de la combinaison six parmi 21. Ainsi, six parmi 21 sera égale à factorielle 21 sur factorielle six multiplié par factorielle 21 moins six . Cela va être égal à factorielle 21 sur factorielle six multipliée par factorielle 15.

Très bien ! Nous avons maintenant les deux valeurs que nous voulions. Nous devons maintenant revenir à la question et voir si nous pouvons trouver à quoi va correspondre le rapport entre sept parmi 21 et six parmi 21.

Nous aurons donc factorielle 21 sur factorielle sept multipliée par factorielle 14 le tout divisée par factorielle 21 sur factorielle six multipliée par factorielle 15. En fait, grâce à la règle de division des fractions, nous savons que si nous divisons par une fraction, cela revient à multiplier par son inverse.

Alors, maintenant, nous l’avons sous cette forme. Nous pouvons commencer à simplifier. En premier lieu, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par factorielle 21. Nous pouvons donc simplifier cela, ce qui revient à dire qu'il nous reste factorielle six multipliée par factorielle 15 sur factorielle sept multipliée par factorielle 14.

Avant tout, si nous examinons factorielle 15 sur factorielle 14, nous constatons que factorielle 15 est égale à 15 fois 14 fois 13, et ainsi de suite. Factorielle 14 est 14 fois 13 fois 12, ainsi de suite. Ainsi, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par factorielle 14. Nous obtenons alors 15 au numérateur.

Examinons maintenant factorielle six sur factorielle sept. Nous avons six fois cinq fois quatre et ainsi de suite sur sept fois six fois cinq fois quatre et ainsi de suite. Ainsi, tout comme dans l'exemple précédent, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par factorielle six. Ainsi, nous avons juste sept comme dénominateur.

En fait, la valeur de factorielle six sur factorielle sept correspond à un septième. Ainsi, cela va être égal à un sur sept multiplié par 15. Nous pouvons donc dire que la valeur de la combinaison sept parmi 21 divisée par la combinaison six parmi 21 est 15 sur sept.

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