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Vidéo de question : Utilisation de vecteurs pour déterminer les composantes inconnues des sommets d’un trapèze Mathématiques

La trapèze 𝐴𝐵𝐶𝐷 de sommets 𝐴 (10 ; 11), 𝐵 (𝑘 ; 8), 𝐶 (4 ; −12) et 𝐷 (-2 ; 6). Sachant que 𝐀𝐁 ∥ 𝐂𝐃, déterminez la valeur de 𝑘.

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Transcription de vidéo

La trapèze 𝐴𝐵𝐶𝐷 a pour sommets 𝐴 10, 11 ; 𝐵 𝑘, huit ; 𝐶 quatre, moins 12 ; et 𝐷 moins deux, six. Sachant que le vecteur de 𝐀𝐁 est parallèle au vecteur 𝐂𝐃, déterminez la valeur de 𝑘.

Dans cette question, on nous donne les coordonnées de quatre sommets d’un trapèze et l’une des coordonnées contient une valeur inconnue 𝑘. Nous devons utiliser les quatre coordonnées données et le fait que le vecteur 𝐀𝐁 est parallèle au vecteur 𝐂𝐃 pour trouver la valeur 𝑘.

Pour répondre à cette question, commençons par rappeler comment nous calculons le vecteur entre deux points. Nous rappelons pour deux points 𝑃 et 𝑄 le vecteur 𝐏𝐐 est le vecteur position de 𝐐 moins le vecteur position de 𝐏. Cela peut être écrit 𝐎𝐐 moins 𝐎𝐏. Et pour trouver le vecteur position d’un point, nous construisons simplement un vecteur avec les composantes égales aux coordonnées du point. Nous pouvons l’utiliser pour trouver des expressions pour le vecteur 𝐀𝐁 et le vecteur 𝐂𝐃. Commençons par le vecteur de 𝐀𝐁.

Tout d’abord, cela va être égal au vecteur de position de 𝐁 moins le vecteur de position de 𝐀. Le vecteur position de 𝐁 aura des composantes égales aux coordonnées du point 𝐵. Ce sera le vecteur 𝑘, huit. De même, 𝐴 est le point 10, 11. Ainsi, le vecteur de position de 𝐀 sera le vecteur 10, 11. Par conséquent, le vecteur 𝐀𝐁 est le vecteur 𝑘 huit moins le vecteur 10, 11. Nous pouvons alors simplifier davantage. Rappelez-vous, pour soustraire deux vecteurs, nous devons soustraire les composantes correspondantes des deux vecteurs. En soustrayant la première composante de chaque vecteur, nous obtenons 𝑘 moins 10. Et en soustrayant la deuxième composante de chaque vecteur, nous obtenons huit moins 11. Ainsi, le vecteur 𝐀𝐁 est le vecteur 𝑘 moins 10, 8 moins 11. Et enfin, nous pouvons évaluer la deuxième composante, huit moins 11 est égal à moins trois. Par conséquent, le vecteur 𝐀𝐁 est le vecteur 𝑘 moins 10, moins trois.

Nous pouvons faire exactement la même chose pour trouver le vecteur 𝐂𝐃. Ce sera égal au vecteur position de 𝐃 moins le vecteur position de 𝐂. Les composantes du vecteur position de 𝐃 seront égales aux coordonnées de 𝐷. Cela va nous donner le vecteur moins deux, six. De même, les composantes du vecteur position de 𝐂 seront égales aux coordonnées de 𝐶. C’est le vecteur quatre, moins 12. Nous devons soustraire ces deux vecteurs. Et rappelez-vous, pour soustraire deux vecteurs, nous soustrayons les composantes.

En soustrayant la première composante de chaque vecteur, nous obtenons moins deux moins quatre. Et en soustrayant la deuxième composante de chaque vecteur, nous obtenons six moins moins 12. Et si nous évaluons l’expression de chacune de nos composantes, nous obtenons que le vecteur 𝐂𝐃 est le vecteur moins six, 18. Maintenant que nous avons trouvé des expressions pour ces deux vecteurs, libérons de l’espace, puis rappelons ce que signifie que deux vecteurs soient parallèles.

Nous disons que deux vecteurs sont parallèles s’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Donc dire que le vecteur 𝐀𝐁 est parallèle au vecteur 𝐂𝐃 signifie qu’il y a un scalaire 𝑚 tel que le vecteur 𝐀𝐁 est égal à 𝑚 fois le vecteur 𝐂𝐃. Nous pouvons substituer les expressions que nous avons trouvées pour le vecteur 𝐀𝐁 et le vecteur 𝐂𝐃 dans cette équation pour trouver la valeur de 𝑚. Cela nous donne l’équation vecteur 𝑘 moins 10, moins trois égale 𝑚 multiplié par vecteur moins six, 18.

Nous pouvons alors simplifier le membre de droite de cette équation en nous souvenant de multiplier le vecteur par le scalaire, nous multiplions simplement chacune des composantes du vecteur par le scalaire. En faisant cela, nous obtenons le vecteur moins six 𝑚, 18𝑚. Et nous savons que cela doit être égal au vecteur 𝑘 moins 10, moins trois. Maintenant, puisque ces deux vecteurs sont égaux, leurs composantes correspondantes doivent être égales. Nous pouvons donc trouver la valeur de 𝑚 en égalant la deuxième composante de ces deux vecteurs. Nous obtenons que moins trois doit être égal à 18𝑚. Nous pouvons alors résoudre cette équation pour 𝑚 en divisant les deux côtés de l’équation par 18. Ce faisant, nous obtenons que la valeur de 𝑚 est moins trois divisé par 18, ce qui se simplifie pour nous donner que 𝑚 est égal à moins un sixième.

Mais nous n’avons pas encore terminé. Rappelez-vous, la question veut que nous trouvions la valeur de 𝑘. Et nous pouvons trouver une équation pour la valeur de 𝑘 en égalant la première composante de nos vecteurs. Nous avons que 𝑘 moins 10 doit être égal à moins six 𝑚. Mais nous connaissons la valeur de 𝑚. On a 𝑚 égale moins un sixième. Nous pouvons donc substituer cela dans notre équation. En faisant cela, nous obtenons que 𝑘 moins 10 est égal à moins six multiplié par moins un sixième.

Nous pouvons évaluer le membre de droite de cette équation. Moins six multiplié par moins un sixième est égal à un. Notre équation se simplifie donc pour nous donner que 𝑘 moins 10 est égal à un. Et nous pouvons résoudre ce problème en ajoutant 10 aux deux côtés de l’équation, ce qui nous donne que 𝑘 est égal à 11, ce qui est notre réponse finale. Par conséquent, nous avons pu montrer que si 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un trapèze avec des sommets 𝐴 10, 11 ; 𝐵 𝑘, huit ; 𝐶 quatre, moins 12 ; et 𝐷 moins deux, six et que le vecteur 𝐀𝐁 est parallèle au vecteur 𝐂𝐃, alors la valeur de 𝑘 doit être 11.

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