Vidéo de la leçon: Propriétés d’opérations sur les nombres réels Mathématiques

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre des problèmes impliquant des opérations et des propriétés d’opérations sur les nombres réels. Ceux-ci comprendront des calculs impliquant des racines ou des radicaux, tels que la racine carrée de deux ou la racine carrée de cinq, et nous verrons des opérations inverses. En d’autres termes, des opérations réciproques.

Nous commençons par définir certains termes. Lorsque nous parlons de l’inverse en mathématiques, nous parlons de quelque chose de contraire en effet. Une opération inverse est une opération qui annule ce qui a été fait par l’opération précédente. Nous allons regarder l’opposé et l’inverse de la multiplication. Maintenant, l’opposé d’un nombre 𝑎 est le nombre qui, ajouté à 𝑎, donne zéro. Et l’inverse de la multiplication d’un nombre 𝑎 est le nombre qui, multiplié par 𝑎, donne un. Une autre façon de considérer cela est la réciproque, un sur 𝑎. Voyons comment nous pouvons les calculer.

Déterminez l’opposé de huit moins la racine carrée de 135.

Rappelez-vous que l’opposé d’un nombre 𝑎 est le nombre qui, ajouté à 𝑎, donne zéro. Donc, nous devons trouver un nombre qui, lorsque nous l’ajoutons à huit moins la racine carrée de 135, nous donne zéro. Et une façon de répondre à cela est d’utiliser l’algèbre. Supposons que 𝑥 soit l’opposé de huit moins la racine carrée de 135. Ensuite, nous savons que la somme de 𝑥 et huit moins la racine carrée de 135 est nulle. Et puisque nous ajoutons simplement ici, nous n’avons pas réellement besoin de ces parenthèses ou crochets.

Nous voulons déterminer la valeur de 𝑥. Rappelez-vous, nous essayons de trouver l’opposé de notre nombre. Et donc, nous allons résoudre cette équation. Nous avons 𝑥 plus huit moins la racine carrée de 135. Donc, nous commençons par soustraire huit des deux côtés de notre équation. Sur le côté gauche, cela nous laisse avec 𝑥 moins la racine carrée de 135. Et sur le côté droit, nous obtenons moins huit. Donc, 𝑥 moins la racine carrée de 135 est égal à moins huit. L’opposé de la soustraction consiste à additionner. Donc, ensuite, nous ajoutons la racine carrée de 135 des deux côtés. Et donc, nous voyons que 𝑥 est égal à moins huit plus la racine carrée de 135. Et il est tout à fait habituel d’écrire le nombre positif en premier.

Et donc, nous pouvons dire que l’opposé de huit moins la racine carrée de 135 est la racine carrée de 135 moins huit. Maintenant, il s’ensuit que puisque nous savons que l’opposé d’un nombre et ce nombre ont pour sommee zéro. Nous pouvons vérifier notre solution en additionnant huit moins la racine carrée de 135 et la racine carrée de 135 moins huit. Donc, c’est huit moins la racine carrée de 135 plus la racine carrée de 135 moins huit. Donc, nous voyons que huit moins huit est zéro et moins racine de 135 plus la racine de 135 est nulle. Donc, nous obtenons zéro comme requis.

Ensuite, nous allons voir un exemple sur la méthode de trouver l’inverse de la multiplication.

Trouvez l’inverse de la multiplication de la racine carrée de six sur 30.

Rappelez-vous, l’inverse de la multiplication d’un nombre 𝑎 est le nombre qui, lorsque nous le multiplions par 𝑎, nous donne un. Une autre façon de considérer cela est l’inverse de ce nombre. Donc, si nous avons un nombre 𝑎, son inverse est un sur 𝑎. Donc, ici, nous devons trouver le nombre que lorsque nous le multiplions par la racine carrée de six sur 30, nous obtenons un. Si nous posons 𝑥 l’inverse de la multiplication de la racine carrée de six sur 30, alors nous pourrions dire que 𝑥 fois la racine carrée de six sur 30 égale un.

Maintenant, de manière équivalente, nous y parviendrions en résolvant cette équation. Nous avons dit que c’est aussi l’inverse du nombre d’origine. C’est un de plus que le nombre. Donc, c’est un sur la racine carrée de six sur 30. Cependant, cela n’a pas l’air très bien. Donc, nous allons rappeler comment nous divisons les fractions. Vraiment, nous voulons diviser un par la racine carrée de six sur 30. Donc, nous écrivons un comme un sur un. Puis rappelons que pour diviser par une fraction, nous multiplions par l’inverse de cette fraction. Cela s’appelle parfois garder, changer, retourner. Donc, 𝑥 est égal à un sur un fois 30 sur la racine carrée de six.

Et si nous multiplions les numérateurs puis multiplions séparément les dénominateurs de nos fractions, nous obtenons 𝑥 est égal à 30 sur la racine carrée de six. Maintenant, en fait, nous n’avions vraiment pas besoin d’effectuer cette étape. Étant donnée une fraction sous la forme 𝑎 sur 𝑏, son inverse est simplement 𝑏 sur 𝑎. Mais bien sûr, il est toujours bon de comprendre d’où viennent ces choses. Nous avons donc trouvé que l’inverse de la multiplication était de 30 sur la racine carrée de six.

Mais nous n’avons vraiment pas fini. Nous devons rationaliser le dénominateur. En d’autres termes, nous voulons que le dénominateur de notre fraction soit rationnel. Pour le moment, c’est un nombre irrationnel. La racine carrée de six ne peut pas être écrite comme une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des entiers. Alors, comment pouvons-nous y parvenir ? Eh bien, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de notre fraction par la racine carrée de six. C’est la même chose que multiplier par la racine carrée de six sur la racine carrée de six, ou simplement en multipliant par un.

Et ce faisant, nous ne faisons que créer une fraction équivalente. 30 fois la racine carrée de six est 30 racine carrée de six. Ensuite, la racine carrée de six fois elle-même est, bien sûr, simplement six. La multiplication d’un nombre par lui-même équivaut à élever au carré, et élever au carré est la réciproque de la racine carrée. Donc, nous voyons que notre inverse de la multiplication est 30 racine carrée de six sur six. Enfin, nous constatons que 30 et six ont un facteur commun de six. Et donc, en divisant par six, nous obtenons cinq racine carrée de six sur un, ce qui est simplement cinq racine carrée de six. L’inverse de la multiplication de la racine carrée de six sur 30 est cinq racine carrée de six.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment trouver l’inverse de la multiplication de la somme de deux radicaux.

Trouvez l’inverse de la multiplication de la racine carrée de six plus la racine carrée de sept, exprimant votre réponse sous la forme la plus simple.

Rappelez-vous que l’inverse de la multiplication d’un nombre 𝑎 est le nombre qui, multiplié par 𝑎, donne un. C’est l’inverse de ce nombre, un sur 𝑎. Nous cherchons à trouver l’inverse de la multiplication de la racine carrée de six plus la racine carrée de sept. Donc, c’est l’inverse de la racine carrée de six plus la racine carrée de sept. C’est un sur cette expression. Le problème est que nous n’avons pas tout à fait terminé. Nous devons donner notre réponse sous la forme la plus simple. En d’autres termes, nous devons rationaliser le dénominateur.

Pour l’instant, notre dénominateur est une expression irrationnelle. Il ne peut pas être écrit comme une fraction où le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont des entiers ; ce sont des nombres entiers. Alors, comment rationaliser le dénominateur de notre fraction ? On peut rappeler que multiplier une expression radicale par son conjugué, c’est-à-dire la multiplier par une expression où l’on change le signe entre les deux termes, nous donne un résultat rationnel. Donc, si nous changeons le signe ici, nous voyons que le conjugué de la racine carrée de six plus la racine carrée de sept est la racine carrée de six moins la racine carrée de sept.

Mais nous ne pouvons pas simplement multiplier le dénominateur de notre fraction. Nous devons faire de même pour le numérateur. C’est essentiellement comme multiplier par un. Donc, nous créons une fraction équivalente. Commençons par déterminer la valeur du dénominateur de notre fraction. Nous allons multiplier la racine carrée de six plus la racine carrée de sept par la racine carrée de six moins la racine carrée de sept. Il existe un certain nombre de techniques que nous pouvons utiliser. Utilisons la méthode FOIL pour distribuer des parenthèses ou développer des crochets.

Nous multiplions le premier terme dans chaque expression. La racine carrée de six fois la racine carrée de six est simplement six. Nous multiplions ensuite les termes externes. C’est la racine carrée de six fois moins la racine carrée de sept. En rappelant que pour les nombres réels 𝑎 et 𝑏, la racine carrée de 𝑎 fois la racine carrée de 𝑏 est la racine carrée de 𝑎𝑏. Nous voyons que la racine carrée de six fois la racine carrée de sept est la racine de 42. Donc, notre deuxième terme est moins racine de 42. Nous multiplions ensuite les termes intérieurs, et nous obtenons plus racine carrée de 42. Enfin, nous multiplions les derniers termes dans chaque expression. Et puisque la racine carrée de sept fois elle-même est simplement sept, nous obtenons moins sept.

Nous remarquons maintenant que moins racine de 42 plus la racine de 42 est zéro. Et donc, nous nous retrouvons avec six moins sept, ce qui est tout simplement moins un. Maintenant, la distribution des parenthèses sur notre numérateur est un peu plus facile. Un fois la racine carrée de six et un fois moins racine de sept nous donne la racine carrée de six moins la racine carrée de sept. Donc, nous avons la racine carrée de six moins la racine carrée de sept sur moins un.

Il n’y a qu’un pas de plus. Nous allons diviser chaque terme de notre numérateur par moins un. La racine carrée de six divisée par moins un est moins racine de six et moins racine de sept divisée par moins un est plus racine carrée de sept. Ainsi, nous obtenons moins racine de six plus la racine carrée de sept, que nous pouvons écrire comme racine carrée de sept moins racine carrée de six. Ainsi, nous voyons que l’inverse de la multiplication de la racine carrée de six plus la racine carrée de sept est la racine carrée de sept moins la racine carrée de six.

Maintenant, bien sûr, nous pouvons toujours vérifier notre résultat en trouvant le produit en multipliant ces deux valeurs ensemble. Nous utilisons à nouveau la méthode FOIL. La racine carrée de six fois la racine carrée de sept est la racine carrée de 42. Nous multiplions ensuite la racine carrée de six par moins racine de six pour obtenir moins six. La racine carrée de sept fois la racine carrée de sept est sept. Ensuite, la racine carrée de sept fois moins racine carrée de six est moins racine carrée de 42. Les racines de 42 s’annulent et nous nous retrouvons avec un comme requis.

Nous allons maintenant voir comment appliquer ces processus à un problème géométrique.

Étant donné que les dimensions d’un rectangle sont de 57 plus sept racine de deux centimètres et de 57 moins sept racine de deux centimètres, trouvez la longueur de son périmètre.

N’oubliez pas que le périmètre d’un rectangle est la distance totale autour de l’extérieur de la figure. Traçons le rectangle et étiquetons ses dimensions. Nous savons que les côtés opposés d’un rectangle sont de longueur égale. Cela signifie que nous pouvons étiqueter nos côtés opposés comme indiqué. Le périmètre est alors la somme de toutes ces dimensions. C’est 57 moins sept racine de deux plus 57 plus sept racine de deux plus 57 moins sept racine de deux plus 57 plus sept racine de deux. Et en fait, puisque nous trouvons simplement la somme, nous n’avons pas vraiment besoin de ces crochets ou parenthèses.

Ensuite, nous remarquons que moins sept racine de deux et sept racine de deux sont des opposés l’un de l’autre. L’opposé d’un nombre 𝑎 est le nombre qui lorsque nous ajoutons à 𝑎 donne zéro. Cela signifie que la somme de moins sept racine de deux et sept racine de deux est zéro. Donc, nous avons zéro ici et zéro ici. Le périmètre est donc simplement 57 plus 57 plus 57 plus 57 ou 57 fois quatre. C’est 228 ou 228 centimètres. Et donc, la longueur du périmètre de notre figure est de 228 centimètres.

Nous allons maintenant considérer l’effet de l’élévation au carré sur les expressions algébriques impliquant des racines carrées.

Étant donné que 𝑎 est égal à la racine carrée de deux et 𝑏 est égal à la racine carrée de six, déterminez la valeur de 𝑎 au carré sur 𝑏 au carré.

Rappelez l’ordre des opérations. Ceci est parfois appelé BIDMAS ou PEMDAS. Ces lettres nous indiquent l’ordre dans lequel nous effectuons une série d’opérations. Et donc, en regardant notre expression 𝑎 au carré sur 𝑏 au carré, nous voyons que nous avons des exposants ou des indices. Et cette ligne signifie ici la division. Dans chaque expression, BIDMAS et PEMDAS, les exposants ou indices sont calculés avant toute division. Donc, nous allons simplement commencer par calculer la valeur de 𝑎 au carré et 𝑏 au carré.

𝑎 est la racine carrée de deux et 𝑏 est la racine carrée de six, ce qui signifie que 𝑎 au carré doit être racine de deux au carré, et 𝑏 au carré doit être racine de six au carré. Nous pourrions réécrire chacune d’elles comme la racine carrée de deux fois la racine carrée de deux et la racine carrée de six fois la racine carrée de six, respectivement. Alternativement, nous rappelons que la mise en racine carré et l’élévation au carré sont des opérations inverses. Ils sont l’opposé l’un de l’autre, et chacun annule ce que fait l’autre.

Cela signifie que la racine carrée de deux au carré est simplement deux, tandis que la racine carrée de six au carré est six. Nous avons donc calculé 𝑎 au carré et 𝑏 au carré. Nous remplaçons 𝑎 au carré par deux et 𝑏 au carré par six dans notre expression originale. Et nous voyons que 𝑎 au carré sur 𝑏 au carré vaut deux sur six. Et puisque le numérateur et le dénominateur de notre fraction partagent un facteur commun de deux, nous les divisons tous les deux par deux. Deux divisé par deux est un et six divisé par deux est trois. Ainsi, la valeur de 𝑎 au carré sur 𝑏 au carré est d’un tiers.

Dans notre dernier exemple, nous considérerons une autre application réelle de ces processus.

Un carré a une longueur de côté de 𝑙 centimètres et une aire de 63 centimètres carrés. Trouvez l’aire d’un carré dont la longueur de côté est de six 𝑙 centimètres.

N’oubliez pas que l’aire d’un rectangle est calculée en multipliant sa largeur par sa hauteur. Un carré est simplement un rectangle dont les côtés ont la même longueur. Et donc, nous pouvons dire que l’aire d’un carré est sa longueur de côté multipliée par elle-même ou sa longueur de côté au carré. Maintenant, on nous dit que notre carré a une aire de 63 centimètres carrés. On nous dit également que sa longueur de côté est 𝑙. Donc, en remplaçant l’aire par 63 et la longueur de côté par 𝑙, nous formons une équation. Nous obtenons 63 est égal à 𝑙 au carré.

Maintenant, la question nous demande de déterminer l’aire d’un carré dont la longueur de côté est de six 𝑙 centimètres. Donc, ce que nous allons faire, c’est commencer par calculer la valeur de 𝑙. En d’autres termes, nous allons résoudre cette équation en 𝑙. Pour ce faire, nous effectuons une opération inverse. Actuellement, 𝑙 est élevé au carré. L’opposé de l’élévation au carré est la mise en racine carré d’un nombre. Cela annule essentiellement l’opération précédente.

Et donc, si nous plaçons les deux côtés de notre équation, nous obtenons simplement 𝑙 sur le côté droit. Ensuite, le côté gauche est égal à la racine carrée de 63. Maintenant, il convient de rappeler que lorsque nous trouvons la racine carrée dans une équation, nous cherchons à trouver les racines carrées positive et négative du nombre. Mais c’est une longueur de côté, nous ne pouvons donc pas avoir de valeur négative. Et 𝑙 est égal à la racine carrée de 63. Nous pourrions vouloir simplifier ce radical. Mais en fait, nous n’en avons pas tout à fait fini. Donc, nous allons le laisser tel quel pour l’instant.

Notre nouveau carré a une longueur de côté de six 𝑙 centimètres. Nous avons calculé que 𝑙 était égal à la racine carrée de 63. Ainsi, six 𝑙 doit être six fois cela. C’est six racine de 63. Puisque c’est la nouvelle longueur de côté de notre carré, l’aire de ce carré est cette valeur au carré. C’est six racine de 63 fois six racine de 63. Nous répartissons les deux sur les deux parties de cette valeur. Donc, nous obtenons six au carré fois la racine carrée de 63 au carré. Six au carré est 36.

Et bien sûr, l’élévation au carré et la recherche de la racine carrée sont des opérations réciproques l’une de l’autre. Chacune annule l’autre opération. Ainsi, la racine carrée de 63 au carré n’est que de 63. Cela signifie que l’aire de notre carré est 36 fois 63, soit 2 268. Et puisque nous calculons en centimètres, les unités ici sont des centimètres carrés.

Dans cette vidéo, nous avons appris que lorsque nous parlons de la réciproque en mathématiques, nous parlons de quelque chose de contraire en effet. Une opération réciproque est une opération qui annule ce qui a été fait par l’opération précédente. Nous avons également découvert des opposés. Nous avons dit que l’opposé d’un nombre 𝑎 est le nombre qui lorsque nous l’ajoutons au nombre original 𝑎 donne zéro. Nous avons également vu que les inverses de la multiplication d’un nombre 𝑎 sont les nombres qui, multipliés par 𝑎, donnent un. Et une autre façon de considérer cela est la réciproque, un sur 𝑎.