Vidéo : Concavité et points d’inflexion

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la concavité d’une fonction ainsi que ses points d’inflexion en utilisant sa dérivée seconde.

17:07

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la concavité d’une fonction ainsi que ses points d’inflexion à l’aide de la dérivée seconde. À ce stade, vous devez pouvoir aisément trouver les dérivées première et seconde d’une fonction à l’aide des règles générales de dérivation, et être bien entraîné à utiliser le test de la dérivée première pour établir la nature des points critiques. Nous allons maintenant voir ce que signifie pour une fonction d’être concave vers le haut ou vers le bas, ou d’avoir un point d’inflexion. Et nous verrons comment utiliser la dérivée seconde comme méthode alternative au test de la dérivée première.

Observons la forme de quelques graphiques bien connus. Ici, nous avons le graphique de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré, 𝑔 de 𝑥 égale moins 𝑥 au carré, et ℎ de 𝑥 égale 𝑥 au cube. 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré est un bon exemple de fonction concave vers le haut sur tout son ensemble de définition. Sa représentation graphique est courbée vers le haut sur tout son domaine, et la valeur de son coefficient directeur augmente. Une autre façon d’envisager cela est de dire que si la courbe représentative d’une fonction est située au-dessus de toutes ses tangentes sur un intervalle, elle est alors concave vers le haut sur cet intervalle. De même, 𝑔 de 𝑥 égale moins 𝑥 au carré est un bon exemple de fonction concave vers le bas. Sa représentation graphique est courbée vers le bas sur tout son ensemble de définition, et la valeur de son coefficient directeur diminue.

Cette fois, nous pouvons dire qu’une autre façon d’envisager cela est de dire que si la courbe représentative de la fonction est située au-dessous de toutes ses tangentes sur un intervalle, elle est alors concave vers le bas sur cet intervalle. Avec notre fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré, le point critique en zéro, zéro est un minimum. Et en fait, c’est un minimum absolu. C’est le point le plus bas de la courbe sur tout l’ensemble de définition. Et pour la représentation graphique 𝑔 de 𝑥 égale moins 𝑥 au carré, le point critique en zéro, zéro est un maximum absolu. C’est le point le plus élevé de la courbe sur tout l’ensemble de définition.

Cependant, ℎ de 𝑥 égale 𝑥 au cube offre quelque chose d’un peu différent. Le point d’inflexion en zéro, zéro est appelé point d’inflexion. C’est un point critique auquel le comportement de la fonction change. Elle se transforme de concave vers le bas en concave vers le haut ou vice versa. Alors maintenant que nous avons une définition, voyons comment nous déterminons la nature du point critique et, par conséquent, la concavité de la fonction. Examinons à nouveau la représentation graphique de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré. Sa dérivée 𝑓 prime de 𝑥 égale deux 𝑥 est parfois appelée fonction de gradient car elle nous indique le gradient ou le coefficient directeur de la tangente de la courbe en tout point. Nous pouvons voir que le gradient de la tangente de la courbe en, disons un point 𝑥 égale moins un juste avant le point critique sera négatif. Et le gradient de la tangente à la courbe en un point après le point critique, disons 𝑥 égale un, est positif.

Auparavant, nous aurions vérifié cela en utilisant le test de la dérivée première. Nous aurions substitué ces valeurs dans l’équation de la dérivée première et vérifié qu’elle est bien négative avant le point critique et positive après. Mais réfléchissons à ce qui se passe réellement avec la dérivée. Elle passe d’un nombre strictement inférieur à zéro à un nombre strictement supérieur à zéro. En d’autres termes, la fonction 𝑓 prime de 𝑥 augmente. Une autre façon de penser à cela est de dire que la dérivée de 𝑓 prime de 𝑥 doit être strictement supérieure à zéro. En d’autres termes, 𝑓 double prime de 𝑥, la dérivée seconde de notre fonction, doit être strictement supérieure à zéro. Et c’est le test de la dérivée seconde.

Nous pouvons évaluer la dérivée seconde au point critique. Et si sa valeur est strictement supérieure à zéro, alors nous avons un minimum local. Et ce test nous permet de déterminer la concavité. Si la dérivée seconde de notre fonction est strictement supérieure à zéro pour tout 𝑥 dans un certain intervalle 𝐼, la courbe est concave vers le haut sur cet intervalle. Nous pouvons également regarder le graphique de 𝑔 de 𝑥 égale moins 𝑥 au carré. Juste avant notre point critique, la tangente a un gradient positif ou un coefficient directeur positif. Et juste après notre point critique, la tangente a un gradient négatif. Cela signifie que 𝑓 prime de 𝑥 diminue. En d’autres termes, la dérivée de 𝑓 prime de 𝑥 doit être strictement inférieure à zéro. Ou 𝑓 double prime de 𝑥, la dérivée seconde, doit être strictement inférieure à zéro.

Donc, si nous évaluons la dérivée seconde au point critique et nous trouvons qu’elle est strictement inférieure à zéro, cela nous indique que nous avons un maximum local. Et nous étendons cette idée et disons que si la dérivée seconde de notre fonction est strictement inférieure à zéro pour tout 𝑥 sur un certain intervalle 𝐼, la courbe représentative est concave vers le bas sur cet intervalle. Mais il manque quelque chose. Qu’en est-il si 𝑓 double prime de 𝑥 de la dérivée seconde égale zéro ? Si la dérivée seconde égale zéro ou est non définie, nous pourrions avoir un point d’inflexion. Mais nous ne devons pas supposer que tout point où 𝑓 double prime de 𝑥 égale zéro est un point d’inflexion. Au lieu de cela, dans ces situations, nous devons vérifier la nature de la dérivée seconde de part et d’autre de notre point et vérifier que la concavité passe de vers le haut en vers le bas, ou inversement. Voyons un exemple d’application de certaines de ces définitions.

Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins quatre 𝑥 à la puissance cinq plus 𝑥 au cube est concave et convexe.

Rappelez-vous que si la dérivée seconde de notre fonction 𝑓 double prime de 𝑥 est strictement supérieure à zéro pour tout 𝑥 dans un intervalle 𝐼, alors 𝑓 est concave vers le haut sur cet intervalle. De même, si la dérivée seconde est strictement inférieure à zéro pour tout 𝑥 dans un intervalle 𝐼, alors 𝑓 est concave vers le bas sur cet intervalle. Il va donc nous falloir trouver la dérivée seconde de notre fonction et l’utiliser pour déterminer les intervalles sur lesquels 𝑓 double prime de 𝑥 est strictement supérieure à zéro et strictement inférieure à zéro.

Nous allons commencer par trouver la dérivée première de notre fonction. C’est cinq fois moins quatre 𝑥 à la puissance quatre plus trois fois 𝑥 au carré, ce qui donne moins 20𝑥 à la puissance quatre plus trois 𝑥 au carré. Nous allons dériver encore une fois pour trouver la dérivée seconde. Cette fois, c’est quatre fois moins 20𝑥 au cube plus deux fois trois au carré, ce qui donne moins 80𝑥 au cube plus six 𝑥. Nous devons maintenant déterminer l’intervalle sur lequel cette dérivée est strictement supérieure à zéro et l’intervalle sur lequel elle est strictement inférieure à zéro. Nous allons commencer par la définir égale à zéro et à résoudre pour 𝑥. Nous pouvons factoriser pour obtenir deux 𝑥 fois moins 40𝑥 au carré plus trois. Et puis nous savons que pour que le produit de deux 𝑥 et de moins 40𝑥 au carré plus trois égale zéro, soit que 𝑥 elle-même égale zéro, ce qui signifie que 𝑥 égale zéro ou moins 40𝑥 au carré plus trois égale zéro.

Nous allons résoudre le problème en ajoutant 40𝑥 au carré des deux côtés, en divisant par 40, puis en trouvant la racine carrée, en nous rappelant de trouver à la fois la racine carrée positive et négative de trois sur 40. Nous pouvons en fait rationaliser le dénominateur ici, et nous obtenons 𝑥 égale plus ou moins racine de 30 sur 20. Ensuite, nous allons tracer la courbe de 𝑓 double prime de 𝑥 pour nous aider à décider où elle est strictement inférieure à zéro et égale à zéro. C’est une courbe cubique avec un coefficient négatif de 𝑥 au cube, dont les racines sont moins racine de 30 sur 20, plus racine de 30 sur 20 et zéro. Donc, ça va ressembler à quelque chose comme ça. Nous pouvons voir que 𝑓 double prime de 𝑥 est strictement inférieure à zéro ici et ici. Et elle est strictement supérieure à zéro ici et ici. Puisque la dérivée seconde est strictement supérieure à zéro sur l’intervalle ouvert, moins l’infini à la racine négative de 30 sur 20, et l’intervalle ouvert zéro à la racine de 30 sur 20, donc 𝑓 de 𝑥 est concave vers le haut sur ces intervalles. De même, elle est concave vers le bas sur l’intervalle ouvert moins racine de 30 sur 20, zéro et racine de 30 sur 20, infini.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment déterminer les points d’inflexion d’une courbe.

Déterminez les points d’inflexion de la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins cinq.

Rappelez-vous, nous disons que nous pourrions avoir un point d’inflexion sur notre courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 si la dérivée seconde égale zéro ou si la dérivée seconde est indéfinie en un point donné. Cependant, formalisons cela un peu. Au lieu de cela, nous dirons que si 𝑝 est un point d’inflexion sur une fonction continue 𝑓, alors 𝑓 double prime de 𝑥, la dérivée seconde, est égale à zéro ou est non définie, et la courbe passe de concave en convexe ou inversement en 𝑝. Comme d’habitude, nous commençons par rechercher l’emplacement des points critiques, puis par déterminer leur nature. Nous allons ensuite dériver notre fonction 𝑦 par rapport à 𝑥. La dérivée première est deux 𝑥 plus deux.

Pour trouver l’emplacement de n’importe quel point critique, nous allons définir cela égale zéro. Donc deux 𝑥 plus deux égale zéro. Pour résoudre pour 𝑥, on soustrait deux des deux côtés. Et nous divisons par deux. Donc, il y a un point critique en 𝑥 égale moins un. Et qu’en est-il de sa nature ? Cette fois on trouvera la dérivée seconde. La dérivée seconde de notre fonction est simplement deux. Fait intéressant, la dérivée seconde est une constante. Et elle est strictement supérieure à zéro. En d’autres termes, la dérivée seconde est strictement supérieure à zéro sur tout l’ensemble de définition. 𝑦 est concave vers le haut et la concavité ne change jamais. On peut donc dire que cette courbe n’a pas de points d’inflexion.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment utiliser la dérivée seconde pour trouver le point d’inflexion sur une courbe.

Déterminez le point d’inflexion sur la représentation graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube moins neuf 𝑥 au carré plus six 𝑥.

Si 𝑝 est un point d’inflexion sur une fonction continue 𝑓, alors la dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥 égale zéro ou est indéfinie en ce point. Et la concavité de la courbe change en ce point. Pour répondre à cette question, nous allons commencer par trouver la dérivée seconde de notre fonction. La première dérivée est trois 𝑥 au carré moins deux fois neuf 𝑥 plus six, ce qui est simplifié en trois 𝑥 au carré moins 18𝑥 plus six. La dérivée seconde est six 𝑥 moins 18. Nous savons qu’il pourrait y avoir un point d’inflexion lorsque la dérivée seconde égale zéro. Nous allons donc définir ceci égale zéro et résoudre pour 𝑥. Nous ajoutons 18 des deux côtés de notre équation, puis nous divisons par six. Et nous voyons que 𝑥 égale trois.

Mais le fait que la dérivée seconde de 𝑓 de trois soit égale à zéro ne garantit pas qu’il s’agisse d’un point d’inflexion. Nous allons vérifier la concavité de la courbe de part et d’autre de ce point. Nous allons vérifier 𝑓 double prime de deux et 𝑓 double prime de quatre. 𝑓 double prime de deux est six fois deux moins 18, soit moins six. Et 𝑓 double prime de quatre est six fois quatre moins 18, soit six. La dérivée seconde de 𝑓 en deux est strictement inférieure à zéro, et en quatre est strictement supérieure à zéro. La courbe passe de convexe en concave. Donc 𝑥 égale trois est bien un point d’inflexion. Maintenant, nous le savons ; nous pouvons substituer 𝑥 égale trois dans l’équation 𝑓 de 𝑥 pour déterminer 𝑓 de trois. C’est trois au cube moins neuf fois trois au carré plus six fois trois, soit 36. Le point d’inflexion de notre fonction est en trois, moins 36.

Dans nos deux derniers exemples, nous allons voir comment les règles générales de dérivation peuvent aussi être appliquées pour nous aider à vérifier la concavité aux points d’inflexion, notamment en observant les fonctions trigonométriques et logarithmiques.

Sachant que 𝑓 de 𝑥 égale sin quatre 𝑥 plus cos quatre 𝑥, où 𝑥 est supérieure ou égale à zéro et inférieure ou égale à 𝜋 sur deux, déterminez les points d’inflexion de 𝑓.

N’oubliez pas qu’un point d’infection sur une courbe est un point où la courbe passe de concave en convexe, ou vice versa. Cela se produit lorsque 𝑓 double prime de 𝑥 égale zéro ou est indéfinie. Mais rappelez-vous, 𝑓 double prime de 𝑥 étant égale à zéro ne garantit pas que nous avons un point d’infection. Donc, nous effectuons toujours un deuxième test pour vérifier. Commençons par trouver la dérivée première de notre fonction. On peut citer les dérivées standard de sin 𝑎 de 𝑥 et cos 𝑎 de 𝑥. Et nous voyons que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à quatre cos quatre 𝑥 moins quatre sin quatre 𝑥.

Ensuite, nous déterminons la dérivée seconde. Et nous voyons que 𝑓 double prime de 𝑥 égale moins 16 sin quatre 𝑥 moins 16 cos quatre 𝑥. Nous cherchons un point d’inflexion. Définissons donc la valeur égale à zéro et résolvons pour 𝑥, en remarquant que nous envisageons l’intervalle fermé zéro, 𝜋 sur deux. On divise par moins 16 et on soustrait ensuite cos quatre 𝑥 des deux côtés. Nous rappelons ensuite le fait que tan est égale à sin 𝑥 sur cos 𝑥. Donc, sin quatre 𝑥 divisé par cos quatre 𝑥 égale tan quatre 𝑥. Et nous voyons que tan quatre 𝑥 égale moins un. Nous trouvons arctan de moins un que nous savons que c’est moins 𝜋 par quatre.

Rappelez-vous cependant que tan 𝑥 est une fonction périodique avec une période de 𝜋 radiance. Donc, cela nous dit qu’il pourrait y avoir plus d’une solution. Nous modifions notre intervalle en multipliant par quatre. Et on voit que quatre 𝑥 doit être supérieure ou égale à zéro et inférieure ou égale à deux 𝜋. Et nous trouverons toutes les valeurs de quatre 𝑥 dans cet intervalle en ajoutant des multiples de 𝜋 à notre solution. On ajoute 𝜋 à moins 𝜋 par quatre et on obtient trois 𝜋 par quatre. On ajoute 𝜋 à nouveau et on obtient sept 𝜋 par quatre. Enfin, nous pouvons diviser par quatre et nous voyons que 𝑥 égale trois 𝜋 sur 16 et sept 𝜋 sur 16. N’oubliez pas que le fait que la dérivée seconde soit égale à zéro ne garantit pas que nous avons un point d’inflexion. Nous vérifions donc la concavité de part et d’autre de ces valeurs.

Nous pouvons choisir que 𝑥 soit égale à 0.5 et 0.6. Ce sont des valeurs des deux côtés de trois 𝜋 sur 16. Et nous vérifierons également avec 𝑥 égale 1.3 et 𝑥 égale à 1.4, qui sont des valeurs de chaque côté de sept 𝜋 sur 16. 𝑓 double prime de 0.5 est une valeur négative et 𝑓 double prime de 0.6 est une valeur positive. De même, 𝑓 double prime de 1.3 est strictement supérieure à zéro et 𝑓 double prime de 1.4 est strictement inférieure à zéro. Et nous voyons qu’au point 𝑥 égale trois 𝜋 sur 16, la courbe représentative passe de convexe en concave. Et au point 𝑥 égale sept 𝜋 sur 16, elle passe de concave en convexe. Et ce sont bien les deux points d’inflexion. Nous pouvons substituer chaque valeur dans 𝑓 de 𝑥 pour trouver les coordonnées correspondantes de 𝑦. Les points d’inflexion se situent en trois 𝜋 sur 16, zéro et sept 𝜋 sur 16, zéro.

Trouvez, s’ils existent, les points d’inflexion de 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 au carré fois le log naturel de deux 𝑥.

Pour trouver les points d’inflexion, nous allons évaluer la dérivée seconde de notre fonction et la fixer à zéro. Notez que notre fonction est elle-même le produit de deux fonctions. Nous devrons donc utiliser la règle du produit pour la dériver. Cela signifie que pour deux fonctions dérivables, 𝑢 et 𝑣, la dérivée de leur produit est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Soit 𝑢 égale trois 𝑥 au carré et 𝑣 égale le logarithme naturel de deux 𝑥. Alors d𝑢 sur d𝑥 vaut six 𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 vaut un sur 𝑥. Donc 𝑓 prime, la dérivée première de notre fonction, est trois 𝑥 au carré fois un sur 𝑥 plus six 𝑥 fois le log naturel de deux 𝑥 ou trois 𝑥 plus six 𝑥 fois le log naturel de deux 𝑥. Nous allons dériver cela à nouveau.

Nous utilisons la règle du produit pour déterminer la dérivée de six 𝑥 fois le log naturel de deux 𝑥 qui est égale à six plus six fois le log naturel de deux 𝑥. Et la dérivée seconde est neuf plus six fois le logarithme naturel de deux 𝑥. Fixons cette valeur à zéro. Pour résoudre pour 𝑥, nous soustrayons neuf puis divisons par six. Nous avons élevé les deux côtés à la puissance 𝑒. Et puis nous divisons par deux. Donc, il pourrait y avoir un point d’inflexion en 𝑥 égale un demi 𝑒 à la puissance moins trois sur deux. Mais nous devons vérifier s’il s’agit bien d’un point d’inflexion en vérifiant les valeurs de 𝑓 double prime ou de la dérivée seconde de l’un ou l’autre côté de celle-ci.

Un demi 𝑒 à la puissance moins trois sur deux est environ 0.112. Essayons donc 𝑥 égale 0.1 et 𝑥 égale 0.12. La dérivée seconde 𝑓 double prime de 0.1 est strictement inférieure à zéro. Et 𝑓 double prime de 0.12 est strictement supérieure à zéro. La courbe passe de concave vers le bas en concave vers le haut. Et nous pouvons dire que nous avons un point d’inflexion en 𝑥 égale un demi 𝑒 à la puissance moins trois sur deux. En remplaçant avec cette valeur de 𝑥 dans la fonction initiale, nous obtenons moins neuf sur huit 𝑒 au cube. 𝑓 a un point d’inflexion en 𝑒 à la puissance moins trois sur deux sur deux, moins neuf sur huit 𝑒 au cube.

Dans cette vidéo, nous avons vu que si la dérivée seconde de 𝑥 est strictement supérieure à zéro pour toutes les valeurs de 𝑥 dans un intervalle 𝐼, alors la courbe représentative de 𝑓 est concave vers le haut sur 𝐼. Nous avons également vu que si le contraire est vrai, alors 𝑓 est concave vers le bas sur 𝐼. Nous avons également vu qu’un point d’inflexion se produit lorsque la concavité de la courbe représentative change. Et cela se produit lorsque la dérivée seconde égale zéro ou est indéfinie en ce point. Et nous avons vu que si 𝑓 double prime de 𝑥 égale zéro ou est indéfinie, cela seul ne garantit pas l’existence d’un point d’inflexion. Nous effectuons donc le test de la dérivée seconde et pour vérifier la concavité de chaque côté.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.