Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier, écrire, évaluer et analyser les fonctions exponentielles.
Une fonction exponentielle est une fonction avec une règle de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥, où le nombre réel constant 𝑏 est appelé la base, 𝑏 étant supérieur à zéro et 𝑏 différent de un, et 𝑥 est appelé l’exposant, qui peut être tout nombre réel. Considérons 𝑓 de 𝑥 pour certaines valeurs entières positives de 𝑥. Pour 𝑥 égale un, on a 𝑏 puissance un, qui est juste 𝑏. Pour 𝑥 égale deux, on a 𝑏 puissance deux ou 𝑏 au carré, qui est égal à 𝑏 fois 𝑏. Pour 𝑥 égale trois, on a 𝑏 puissance trois ou 𝑏 au cube qui est égal à 𝑏 fois 𝑏 fois 𝑏. Et pour 𝑥 égale quatre, on a 𝑏 puissance quatre qui est égal à 𝑏 fois 𝑏 fois 𝑏 fois 𝑏.
On constate que la valeur précédente de 𝑓 de 𝑥 est multipliée par 𝑏 chaque fois que 𝑥 augmente de un. Donc 𝑓 de deux est égal à 𝑓 de un fois 𝑏. 𝑓 de trois est égal à 𝑓 de deux fois 𝑏, et 𝑓 de quatre est égal à 𝑓 de trois fois 𝑏. Ceci renvoie à une propriété plus générale de la fonction exponentielle. Pour la fonction exponentielle 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥, la valeur de 𝑓 de 𝑥 est toujours le produit de 𝑓 de 𝑥 moins un et 𝑏, ce qui implique que 𝑏 est toujours le quotient de 𝑓 de 𝑥 et 𝑓 de 𝑥 moins un. Autrement dit, 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥 moins un fois 𝑏, ce qui signifie que 𝑏 est égal à 𝑓 de 𝑥 divisé par 𝑓 de 𝑥 moins un. Cela est valable non seulement pour les valeurs entières de 𝑥 mais aussi pour toute valeur réelle de 𝑥. On peut souvent utiliser la relation entre 𝑏, 𝑓 de 𝑥 et 𝑓 de 𝑥 moins un pour déterminer la valeur de 𝑏 à partir d’un graphique ou d’un tableau.
Considérons la représentation graphique de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥 pour une valeur spécifique de 𝑏. Notez que la courbe coupe l’axe des 𝑦 en un. Ce sera le cas pour toute valeur réelle de 𝑏 telle que 𝑏 supérieur à zéro et 𝑏 différent de un. On peut déterminer la valeur de 𝑏 dans la fonction représentée sur le graphique en choisissant deux points par lesquels la courbe passe avec des coordonnées 𝑥 différents de un. Les points que nous choisissons importent peu, mais les deux doivent avoir des coordonnées 𝑥 et 𝑦 faciles à identifier. Dans ce cas, il est plus facile pour nous de choisir des points avec des coordonnées 𝑥 qui sont des nombres consécutifs. Choisissons 𝑥 est égal à moins trois et 𝑥 est égal à moins deux. Sur le graphique, on peut voir que ceux-ci ont des coordonnées 𝑦 de huit et quatre, respectivement. Nous avons donc 𝑓 de moins trois égale huit et 𝑓 de moins deux égale quatre.
Nous savons de la définition précédente que la base 𝑏 est égale à 𝑓 de 𝑥 divisé par 𝑓 de 𝑥 moins un, quelle que soit la valeur de 𝑥 que nous choisissons. Nous pouvons donc choisir moins deux comme valeur de 𝑥. Donc 𝑥 moins un est égal à moins trois. Nous avons donc 𝑏 est égal à 𝑓 de moins deux sur 𝑓 de moins trois. Et lorsqu’on substitue ces valeurs obtenues à partir du graphique, on obtient 𝑏 est égal à quatre sur huit. Donc, 𝑏 est égal à un demi. Et par conséquent 𝑓 de 𝑥 est égal à un demi puissance 𝑥.
Ensuite, considérons un tableau qui représente la fonction 𝑔 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥 pour une autre valeur spécifique de 𝑏. Pour 𝑥 égale un, on a 𝑔 de 𝑥 est égal à deux. Pour 𝑥 égale deux, on a 𝑔 de 𝑥 est égal à quatre. Pour 𝑥 égal à trois, on a 𝑔 de 𝑥 est égal à huit. Et pour 𝑥 égale quatre, on a 𝑔 de 𝑥 est égal à 16. Puisque les valeurs de 𝑥 dans le tableau diffèrent d’une unité, on peut utiliser la même procédure que précédemment pour déterminer la valeur de 𝑏, en évaluant soit le quotient de quatre et deux ou huit et quatre ou 16 et huit. Cependant, cette fois, nous allons introduire la première paire de valeurs 𝑥 et 𝑦 dans le tableau dans la règle 𝑔 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥.
Lorsqu’on remplace 𝑥 par un et 𝑔 de 𝑥 par deux, on a deux est égal à 𝑏 puissance un et donc 𝑏 est égal à deux. Jusqu’ici, nous n’avons considéré que des fonctions exponentielles de cette forme particulière. Mais les fonctions exponentielles peuvent prendre une forme plus générale que cela. On peut multiplier la base par une constante, 𝑎, ou encore multiplier l’exposant par une constante, 𝛼, et ajouter une constante, 𝛽. Et puis enfin, on peut ajouter une constante, 𝑐 à la fin de la fonction. Ce sont là des transformations linéaires standard d’une fonction où 𝑎 étire la courbe de la fonction le long de l’axe des 𝑦 d’un facteur 𝑎, 𝛼 écrase la courbe de la fonction le long de l’axe des 𝑥 d’un facteur 𝛼, 𝛽 déplace la fonction le long de l’axe des 𝑥 par moins 𝛽 unités, et 𝑐 déplace la fonction le long de l’axe des 𝑦 par 𝑐 unités.
Donc, comme autres exemples de fonctions exponentielles on a 𝑔 de 𝑥 égale quatre fois deux puissance 𝑥 ou ℎ de 𝑥 égale 𝑒 puissance 𝑥 plus un ou 𝑘 égale neuf puissance quatre 𝑥 plus trois. Pour 𝑔 de 𝑥, la base reste deux et l’exposant est 𝑥. Pour ℎ de 𝑥, la base est 𝑒 et l’exposant est 𝑥. Et pour 𝑘 de 𝑥, la base est neuf et l’exposant est quatre 𝑥 plus trois. Considérons un exemple de comment identifier la base et l’exposant d’une fonction exponentielle.
Quels sont la base et l’exposant de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale cinq puissance 𝑥 moins cinq ?
Rappelons qu’une fonction exponentielle dans sa forme la plus simple est de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑏 est la base et 𝑥 est l’exposant. Nous savons que la base 𝑏 est un nombre réel, de sorte que 𝑏 est supérieur à zéro et différent de un et que l’exposant 𝑥 peut être tout nombre réel. Dans la fonction donnée, on a une base de cinq qui est à la puissance 𝑥 moins cinq. Cela remplit toujours les critères d’une fonction exponentielle. Donc, la base est cinq et l’exposant est 𝑥 moins cinq.
Dans le problème suivant, on a une table de valeurs pour une fonction exponentielle et on nous demande de trouver l’équation donnant la fonction.
Écrivez une équation exponentielle de la forme 𝑦 égale 𝑏 puissance 𝑥 pour les nombres dans le tableau. 𝑥 est égal à deux, quatre et cinq avec des valeurs 𝑦 correspondantes neuf sur 16, 81 sur 256 et 243 sur 1024.
Rappelons qu’une fonction exponentielle dans sa forme la plus simple a la forme 𝑦 est égal à 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑏 est la base, un nombre réel supérieur à zéro et différent de un, et 𝑥 est l’exposant, qui peut être tout nombre réel. Nous devons donc trouver la valeur de 𝑏 à partir des valeurs du tableau pour résoudre le problème. Commençons par introduire l’une des paires de valeurs 𝑥 et 𝑦 du tableau dans l’équation 𝑦 égale 𝑏 puissance 𝑥.
Lorsqu’on remplace 𝑥 par deux et sa valeur 𝑦 correspondante neuf sur 16, on obtient neuf sur 16 égale 𝑏 au carré. Lorsqu’on évalue 𝑏, on obtient 𝑏 est égal à plus ou moins la racine carrée de neuf sur 16. Et utilisant les règles des nombres irrationnels, on obtient plus ou moins la racine carrée de neuf sur la racine carrée de 16. Cela devient plus ou moins trois quarts. Et puisque 𝑏 doit être supérieur à zéro ça doit être la racine carrée positive. Par conséquent, 𝑏 est égal à trois quarts. Si on introduit cette valeur de 𝑏 dans l’équation de la fonction, on obtient notre réponse finale 𝑦 égale trois quarts puissance 𝑥.
Une façon de vérifier notre réponse est de vérifier les autres valeurs du tableau. Lorsqu’on substitue les autres valeurs de 𝑥 et 𝑦, on obtient 81 sur 256 égale 𝑏 puissance quatre et 243 sur 1024 égale 𝑏 puissance cinq. Si on divise la deuxième équation par la première, on a 243 sur 1024 divisé par 81 sur 256 est égal à 𝑏 puissance cinq sur 𝑏 puissance quatre. Le côté droit devient 𝑏 puissance cinq moins quatre, et 𝑏 puissance cinq moins quatre est égal à 𝑏 puissance un, qui est juste 𝑏. Et lorsqu’on évalue le quotient de gauche, on obtient également trois quarts.
Pour vérifier notre réponse, nous avons utilisé la règle du quotient, qui est l’une des propriétés des exposants. Et elle stipule que lorsqu’on divise des expressions exponentielles qui ont la même base, on garde la base et on évalue la différence des exposants. Autrement dit, 𝑏 puissance 𝑚 sur 𝑏 puissance 𝑛 est égal à 𝑏 puissance 𝑚 moins 𝑛, où 𝑏 est la base, et 𝑚 et 𝑛 sont les exposants. Par exemple, avec la règle du quotient on peut voir que cinq puissance huit sur cinq puissance quatre est égal à cinq puissance huit moins quatre, qui est égal à cinq puissance quatre.
Dans le prochain problème, on nous donne à nouveau une table de valeurs d’une fonction exponentielle et on nous demande de trouver l’équation de la fonction. Mais cette fois, l’équation est sous une forme différente de 𝑦 égale 𝑏 puissance 𝑥.
Écrivez une équation exponentielle de la forme 𝑦 égale 𝑎 fois 𝑏 puissance 𝑥 pour les nombres dans le tableau. Pour 𝑥 égale zéro, un, deux et trois, les valeurs correspondantes de 𝑦 sont 18, six, deux et deux tiers.
Dans ce problème, on nous demande d’écrire une équation exponentielle de la forme 𝑦 égale 𝑎 fois 𝑏 puissance 𝑥 pour les nombres dans le tableau. Nous devons donc trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏 pour résoudre ce problème. Commençons par introduire l’une des paires de valeurs 𝑥 et 𝑦 du tableau dans l’équation 𝑦 égale 𝑎 fois 𝑏 puissance 𝑥. Lorsqu’on substitue la première paire de valeurs, c’est-à-dire 𝑥 égale zéro et 𝑦 égale 18, on obtient 18 est égale à 𝑎 fois 𝑏 puissance zéro. Puisque toute base à la puissance zéro est égale à un, l’équation devient 𝑎 égale 18.
Mais nous devons encore trouver la valeur de 𝑏, et nous pouvons le faire en substituant une autre paire de valeurs de 𝑥 et 𝑦. Donc, lorsqu’on substitue la prochaine paire de valeurs, 𝑥 égale un et 𝑦 égale six, on obtient six est égal à 𝑎 fois 𝑏 puissance un. Toute base 𝑏 à la puissance un est juste elle-même, donc cela devient six est égal à 𝑎𝑏. Nous avons déjà trouvé la valeur de 𝑎 comme étant 18. Nous pouvons donc substituer cela dans l’équation et avoir six est égal à 18𝑏. On évalue 𝑏 et on obtient que 𝑏 est égal à un tiers. Substituer ces valeurs de 𝑎 et 𝑏 dans l’équation exponentielle nous donne le résultat final, 𝑦 est égal à 18 fois un tiers puissance 𝑥.
Nous pouvons vérifier notre réponse en introduisant les deux dernières valeurs de 𝑥 du tableau dans l’équation pour nous assurer qu’elles donnent les bonnes valeurs de 𝑦. Lorsqu’on substitue 𝑥 égale deux, on obtient 𝑦 est égal à 18 fois un tiers au carré, ce qui est égal à 18 fois un neuvième qui est égal à deux, qui est correct. Et lorsqu’on substitue 𝑥 égale trois on obtient 𝑦 est égal à 18 fois un tiers au cube, ce qui est égal à 18 fois un sur 27, ce qui est égal à deux tiers, ce qui est encore correct.
Dans le processus de résolution du dernier problème, nous avons utilisé l’une des propriétés des exposants appelée la règle de l’exposant zéro, qui stipule que toute base à la puissance zéro est égale à un. Autrement dit, 𝑏 puissance zéro est égal à un, où 𝑏 est la base. Par exemple, trois puissance zéro est égal à un.
Dans le problème suivant, nous allons voir comment trouver l’équation d’une fonction exponentielle à partir de sa représentation graphique.
Observez le graphique ci-dessous, puis répondez aux questions suivantes. Trouvez l’ordonnée à l’origine sur le graphique illustré. Puisque ce graphique représente une fonction exponentielle, chaque valeur de 𝑦 est multipliée par 𝑏 lorsque 𝑥 augmente de Δ𝑥. Déterminez 𝑏 lorsque Δ𝑥 est égal à un. Déterminez l’équation qui décrit la courbe, sous la forme 𝑦 égale 𝑎𝑏 puissance 𝑥 sur Δ𝑥.
Commençons par trouver l’ordonnée à l’origine de la courbe. On peut voir que la courbe passe par le point zéro, 10. Par conséquent, l’ordonnée à l’origine est 10. Maintenant, déterminons la valeur de 𝑏 dans l’équation de la courbe. Dans le problème, on nous dit que le graphique représente une fonction exponentielle pour laquelle chaque valeur de 𝑦 est multipliée par 𝑏 lorsque 𝑥 augmente de Δ𝑥. Et on nous demande de trouver 𝑏 lorsque Δ𝑥 est égal à un. Nous avons déjà vu que la courbe passe par le point zéro, 10. Et nous pouvons également voir qu’il passe par le point un, 20. La variation de 𝑥 entre ces deux points est un, donc elle satisfait Δ𝑥 est égal à un.
On nous dit que la valeur de 𝑦 est multipliée par 𝑏 lorsque 𝑥 augmente de Δ𝑥. Si la valeur de 𝑦 de notre premier point est 𝑦 un et la valeur de 𝑦 de notre deuxième point est 𝑦 deux, alors 𝑏 est égal à 𝑦 deux sur 𝑦 un qui est égal à 20 divisé par 10, qui est égal à deux. Et enfin, nous devons trouver l’équation qui décrit la courbe, sous la forme 𝑦 égale 𝑎𝑏 puissance 𝑥 sur Δ𝑥. Nous avons déjà Δ𝑥 est égal à un, et nous avons trouvé la valeur de 𝑏 égale à deux. Par conséquent, 𝑦 est égal à 𝑎 fois deux puissance 𝑥 sur un, ce qui est égal à 𝑎 fois deux puissance 𝑥. Pour trouver la valeur de 𝑎, on peut substituer les valeurs 𝑥 et 𝑦 des points que nous savons être sur la courbe.
Nous avons déjà trouvé que l’ordonnée à l’origine est 10, donc nous savons que le point zéro, 10 se trouve sur la courbe. Cela signifie que nous pouvons substituer les valeurs 𝑥 égale zéro et 𝑦 égale 10 dans l’équation qui nous donne 10 est égal à 𝑎 fois deux puissance zéro. Selon la règle de l’exposant zéro, deux puissance zéro est égal à un. Par conséquent, on a 𝑎 est égal à 10. Cela nous donne notre équation et la réponse finale 𝑦 égale 10 fois deux puissance 𝑥.
Dans le problème suivant, nous allons déterminer la valeur d’une expression en évaluant une fonction exponentielle.
Si 𝑓 de 𝑥 égale quatre puissance 𝑥, évaluez 𝑓 de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 moins un moins 𝑓 de 𝑥 moins un sur 𝑓 de 𝑥.
Dans ce problème, on nous demande de déterminer la valeur d’une expression en 𝑥 sans avoir de valeur de 𝑥, ce qui pousse à croire que cette expression est constante quelle que soit la valeur de 𝑥. On nous dit que 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre puissance 𝑥. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 moins un égale quatre puissance 𝑥 moins un. Et donc, 𝑓 de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 moins un est égal à quatre puissance 𝑥 sur quatre puissance 𝑥 moins un. En utilisant la règle du quotient, cela est égal à quatre puissance 𝑥 moins 𝑥 moins un, qui est égal à quatre puissance un qui est égal à quatre. C’est également la valeur de la base de la fonction exponentielle 𝑓 de 𝑥, qui est définie par 𝑓 de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 moins un.
La deuxième partie de l’expression est 𝑓 de 𝑥 moins un sur 𝑓 de 𝑥, qui est l’inverse de ce que nous venons de trouver, un sur 𝑓 de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 moins un. Par conséquent, cela est égal à un sur quatre ou un quart. Et donc, 𝑓 de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 moins un moins 𝑓 de 𝑥 moins un sur 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre moins un quart, qui est égal à 15 sur quatre.
Dans le problème précédent nous avons utilisé la règle de l’exposant négatif, qui stipule que toute base à une puissance négative est égale à un sur la base puissance l’opposé de l’exposant. Autrement dit, 𝑏 puissance moins 𝑛 est égal à un sur 𝑏 puissance 𝑛, où 𝑏 est la base, et 𝑛 et moins 𝑛 sont les exposants. Par exemple, six puissance moins deux est égal à un sur six puissance deux, ou six au carré, qui est égal à un sur 36.
Dans le dernier problème, nous allons déterminer les valeurs de la base d’une fonction exponentielle pour lesquelles la fonction est décroissante sans qu’on ne donne la forme de la fonction.
Considérez une fonction exponentielle de base 𝑎. Pour quelles valeurs de 𝑎 la fonction est-elle décroissante ?
Dans ce problème, on nous donne une fonction exponentielle 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 puissance 𝑥. Rappelons qu’on peut définir la base 𝑎 comme 𝑓 de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 moins un. Rappelons que 𝑎 est un nombre réel constant, supérieur à zéro et différent de un. Cela signifie que quelle que soit la valeur de 𝑥, la valeur de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 moins un est toujours une constante. Par conséquent, pour toute valeur de 𝑥, la variation de 𝑓 de 𝑥 entre 𝑥 moins un et 𝑥 est toujours 𝑎.
Puisqu’une fonction exponentielle est toujours positive, 𝑓 de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 moins un supérieur à un implique que 𝑓 de 𝑥 est supérieur à 𝑓 de 𝑥 moins un et, par conséquent, que la fonction est croissante. Et de même, 𝑓 de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 moins un inférieur à un implique que 𝑓 de 𝑥 est inférieur à 𝑓 de 𝑥 moins un et, par conséquent, que la fonction est toujours décroissante.
Puisque le côté gauche de ces deux inéquations est égal à 𝑎, cela signifie que 𝑎 supérieur à un implique que la fonction est croissante et 𝑎 inférieur à un implique qu’elle est décroissante. Rappelons également que 𝑎 doit être supérieur à zéro, cela nous donne donc notre réponse finale. 𝑎 supérieur à un implique que la fonction est croissante et 𝑎 compris entre zéro et un implique que la fonction est décroissante.
Le problème précédent renvoie à une autre propriété des fonctions exponentielles, leur monotonie. Une fonction exponentielle est une fonction monotone ou une fonction qui est toujours croissante ou toujours décroissante. Si la base 𝑏 est supérieure à un, on parle de facteur de croissance, et la fonction sera toujours croissante. Si la base est supérieure à zéro mais inférieure à un, on parle de facteur de décroissance, et la fonction sera toujours décroissante.
Terminons en récapitulant quelques points clés de cette vidéo. Une fonction exponentielle a la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑏 est la base, qui est un nombre réel positif différent de un, et 𝑥 est l’exposant, qui peut être tout nombre réel. La règle du quotient stipule que lorsqu’on divise des expressions exponentielles qui ont la même base, on garde la base et on évalue la différence des exposants. Autrement dit 𝑏 puissance 𝑚 sur 𝑏 puissance 𝑛 est égal à 𝑏 puissance 𝑚 moins 𝑛. La règle de l’exposant zéro stipule que toute base à la puissance zéro est égale à un. Autrement dit, 𝑏 puissance zéro est égal à un.
La règle de l’exposant négatif stipule que toute base à une puissance négative est égale à un sur la base puissance l’opposé de l’exposant. Autrement dit, 𝑏 puissance moins 𝑛 est égal à un sur 𝑏 puissance 𝑛. Toutes les fonctions exponentielles sont des fonctions monotones ; c’est-à-dire qu’elles sont toujours croissantes ou toujours décroissantes. Plus précisément, si 𝑏 est supérieur à un, on parle de facteur de croissance et la fonction est toujours croissante. Et si 𝑏 est compris entre zéro et un, on parle de facteur de décroissance, et la fonction est toujours décroissante.
