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Vidéo de question : Déterminer l’ensemble image d’une fonction de valeur absolue à partir de sa définition Mathématiques

Déterminez l’ensemble image de la fonction 𝑓 (𝑥) = | 2𝑥 + 1 |.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale la valeur absolue de deux 𝑥 plus un.

On nous donne ici une fonction de valeur absolue. Afin de trouver la valeur de sortie de notre fonction, nous substituons une valeur de 𝑥 dans l'expression deux 𝑥 plus un. Cette valeur est alors positive, quelle que soit la valeur d'entrée. Il s’agit de la sortie de notre fonction. Il existe plusieurs façons de déterminer l'ensemble image de notre fonction. Le domaine de définition correspond à toutes les valeurs possibles de la variable indépendante. Autrement dit, les valeurs possibles de 𝑥 pour que la fonction soit bien définie. Dans le cas d'une fonction de valeur absolue d'un polynôme, le domaine de définition est simplement l’ensemble de tous les nombres réels.

Puis, nous disons que l'ensemble image d'une fonction est constitué de toutes les valeurs possibles de notre variable dépendante après avoir substitué les valeurs possibles de la variable indépendante. Autrement dit, les valeurs de sortie 𝑦 que nous obtenons après avoir substitué toutes les valeurs possibles de 𝑥. Nous avons dit précédemment que lorsque nous substituons n'importe quelle valeur de 𝑥 à l'expression deux 𝑥 plus un, le symbole de la valeur absolue exige que le résultat soit positif. La valeur absolue de deux 𝑥 plus un sera nulle si la valeur de 𝑥 est égale à moins un demi. Pour toute autre valeur de 𝑥 et non égale à moins un demi, le résultat est supérieur strictement à zéro. Ainsi, cela revient à dire que la valeur absolue de deux 𝑥 plus un sera supérieure ou égale à zéro pour toutes les valeurs réelles de 𝑥.

Avec la notation des ensembles, cela ressemble un peu à ça. L'ensemble image est l’intervalle : supérieur ou égal à zéro et inférieur à ∞. Nous aurions cependant pu considérer comment cela pourrait se présenter graphiquement. La représentation graphique de 𝑦 égale à deux 𝑥 plus un est une seule droite qui passe par l'axe des ordonnées 𝑦 à un et par l'axe des abscisses 𝑥 à moins un demi. Pour représenter graphiquement 𝑓 de 𝑥 égale à la valeur absolue de deux 𝑥 plus un, nous prenons la valeur absolue de 𝑦. Ainsi, nous rendons toutes les valeurs de 𝑦 positives. En fait, la partie de la droite qui apparaît sous l'axe des abscisses 𝑥 est reflété par rapport à l'axe des abscisses 𝑥, comme illustré. Nous avons dit que l'ensemble image est constitué des valeurs de sortie 𝑦.

Sur la représentation graphique, nous voyons clairement que toutes ces valeurs sont supérieures ou égales à zéro. Ainsi, notre ensemble image est l’intervalle : supérieure ou égale à zéro et inférieure à ∞.

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