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Vidéo de question : Déterminer le facteur d’échelle entre deux polygones à partir de leurs dimensions Mathématiques

Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∼ 𝐸𝐹𝐺𝐻, déterminez le facteur d’échelle de la similitude de 𝐸𝐹𝐺𝐻 à 𝐴𝐵𝐶𝐷 et les valeurs de 𝑋 et 𝑌.

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Transcription de vidéo

Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable à 𝐸𝐹𝐺𝐻, déterminez le facteur d’échelle de la similitude de 𝐸𝐹𝐺𝐻 à 𝐴𝐵𝐶𝐷 et les valeurs de 𝑋 et 𝑌.

Deux quadrilatères sont représentés, le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 et le quadrilatère 𝐸𝐹𝐺𝐻. Ces deux quadrilatères sont semblables. On sait que dans deux polygones semblables, les angles correspondants sont égaux et les côtés correspondants sont proportionnels. On peut voir ici que les angles 𝐷 et 𝐻 sont égaux, ainsi que les angles 𝐶 et 𝐺. Étant donné que ces deux formes sont des quadrilatères, on sait que la somme de leurs angles intérieurs est égale à 360 degrés. Et on peut voir que trois des angles du premier quadrilatère sont égaux à trois des angles du second, donc leurs quatrièmes angles sont aussi égaux.

Cela nous confirme que les sommets 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 correspondent aux sommets 𝐸, 𝐹, 𝐺 et 𝐻 respectivement, comme indiqué dans l’énoncé. Par conséquent, on sait que la longueur du côté 𝐴𝐵 correspond à la longueur du côté 𝐸𝐹. La longueur du côté 𝐵𝐶 correspond à la longueur du côté 𝐹𝐺. La longueur du côté 𝐶𝐷 correspond à la longueur du côté 𝐺𝐻. Et la longueur du côté 𝐷𝐴 correspond à la longueur du côté 𝐻𝐸.

Si deux formes sont semblables, alors leurs côtés correspondants sont proportionnels, ce qu’on peut exprimer à l’aide de rapports de similitude. Par exemple, les rapports des côtés correspondants entre les deux formes sont tous égaux. Le rapport de la longueur du côté 𝐴𝐵 sur 𝐸𝐹 est égal à 𝐵𝐶 sur 𝐹𝐺, qui est aussi égal 𝐶𝐷 sur 𝐺𝐻 et à 𝐷𝐴 sur 𝐻𝐸. Notons également que le rapport entre les longueurs de deux côtés d’un même quadrilatère est égal au rapport des longueurs des deux côtés correspondants dans l’autre quadrilatère. Par exemple, le rapport entre les longueurs des côtés 𝐴𝐵 et 𝐷𝐶 est égal au rapport entre les longueurs des côtés 𝐸𝐹 et 𝐻𝐺. On a donc ces rapports de similitude dans les polygones semblables.

On pourrait utiliser ces rapports de similitude pour déterminer les valeurs de 𝑋 et 𝑌. Cependant, si on revient à la question posée, on peut voir qu’on nous demande de déterminer «le facteur d’échelle de la similitude». On utilise les facteurs d’échelle pour multiplier les longueurs de l’une des formes pour calculer les longueurs correspondantes de l’autre forme. Lorsqu’on définit et qu’on décrit un facteur d’échelle, il faut faire attention à bien expliciter le point de départ et le point d’arrivée des calculs. Voyons comment cela fonctionne. Si on prend la longueur d’un côté du polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷 et qu’on la multiplie par le facteur d’échelle, on obtiendra la longueur du côté correspondant dans 𝐸𝐹𝐺𝐻. Dans ce cas, on passe de la grande forme à la petite forme et on s’attend à ce que le facteur d’échelle soit inférieur à un.

Mais il existe un autre facteur d’échelle dans le cas inverse, c’est-à-dire lorsqu’on prend la longueur d’un côté du polygone 𝐸𝐹𝐺𝐻 et qu’on la multiplie par le facteur d’échelle pour déterminer la longueur du côté correspondant dans 𝐴𝐵𝐶𝐷. Dans ce cas, on prend la longueur d’un côté du petit polygone et on essaie de déterminer la longueur du côté correspondant dans le grand polygone. Et on s’attend à ce que le facteur d’échelle soit supérieur à un. Donc pour choisir entre les deux facteurs d’échelle, il faut savoir si on essaie de travailler du plus grand vers le plus petit ou du plus petit vers le plus grand. Dans la question, il est écrit «𝐸𝐹𝐺𝐻 à 𝐴𝐵𝐶𝐷», donc à première vue, on pourrait penser qu’on doit prendre le petit polygone 𝐸𝐹𝐺𝐻 et essayer de déterminer les longueurs du grand polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Mais en y regardant de plus près, «la similitude de 𝐸𝐹𝐺𝐻 à 𝐴𝐵𝐶𝐷» implique que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est la forme d’origine et que 𝐸𝐹𝐺𝐻 est la forme semblable à cette forme d’origine. Donc le facteur d’échelle de cette similitude est le nombre par lequel on doit multiplier les longueurs de 𝐴𝐵𝐶𝐷 pour obtenir les longueurs correspondantes dans 𝐸𝐹𝐺𝐻. Il s’agit de la première possibilité que nous avions considérée, dans laquelle on s’attend à ce que le facteur d’échelle soit inférieur à un. Comme on connaît les longueurs d’une paire de côtés correspondants entre 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐸𝐹𝐺𝐻, on peut calculer le facteur d’échelle. On prend le côté 𝐵𝐶 dans 𝐴𝐵𝐶𝐷 et le côté correspondant 𝐺𝐹 dans 𝐸𝐹𝐺𝐻 et on note notre facteur d’échelle inconnu 𝑠 avant de remplacer 𝐵𝐶 par 47. Puis on remplace 𝐹𝐺 par 18,8.

On divise ensuite par 47 des deux côtés de l’équation pour trouver que notre facteur d’échelle est égal à 0,4. Il est plus courant d’écrire les facteurs d’échelle sous la forme d’une fraction, donc on va dire que notre facteur d’échelle est égal à deux cinquièmes. Maintenant qu’on a cette information, on peut déterminer 𝑌 et 𝑋. Le côté 𝐴𝐵 correspond à 𝐸𝐹, donc 𝑌 plus quatre, fois deux cinquièmes, est égal à 19,2. En divisant par deux cinquièmes des deux côtés, on obtient 𝑌 plus quatre égale 48. Puis, en soustrayant quatre des deux côtés, on trouve que 𝑌 est égal à 44.

Pour déterminer la valeur de 𝑋, on utilise le fait que la longueur correspondante, 𝐷𝐶, multipliée par notre facteur d’échelle de deux cinquièmes est égal à 𝐻𝐺. Donc 34 fois deux cinquièmes est égal à 𝑋 et 𝑋 est égal à 13,6. Ainsi, notre réponse finale est que le facteur d’échelle est égal à deux cinquièmes, 𝑋 est égal à 13,6 et 𝑌 est égal à 44.

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