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Vidéo de question : Déterminer la valeur de cinq rapports trigonométrique étant donnée la valeur du sixième Mathématiques

Déterminez tous les rapports trigonométriques de 𝜃 sachant cot 𝜃 = −8/15 et 𝜃 ∈ (3𝜋 / 2, 2𝜋).

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Transcription de vidéo

Déterminez tous les rapports trigonométriques de 𝜃 étant donné que la cotangente de 𝜃 est égale à moins huit sur 15 et 𝜃 est compris entre trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋.

Considérons d'abord les rapports trigonométriques. Nous avons le sinus, le cosinus, la tangente, où le sinus est la longueur du côté opposé sur l'hypoténuse, le cosinus est la longueur du côté adjacent sur l'hypoténuse, la tangente est la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent. Nous avons également l'inverse de ces trois identités. La cosécante est l’inverse du sinus, soit l’hypoténuse sur l’opposé. La sécante est l’inverse du cosinus, soit l’hypoténuse sur l’adjacent. La cotangente est l’inverse de la tangente, il s’agit donc de la longueur du côté adjacent sur la longueur du côté opposé.

Nous disposons d'un des rapports, la cotangente de 𝜃, et nous devons déterminer les autres cinq rapports. Puisque nous savons que la cotangente de 𝜃 est égale à moins huit sur 15, nous pouvons dire que la tangente de 𝜃 sera l'inverse de ce rapport, soit moins 15 sur huit. Cependant, pour trouver les quatre autres, il faudra faire un peu plus que cela. Avant tout, nous devons réfléchir à ce que nous savons de 𝜃. On sait que 𝜃 se situe entre trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋. Si nous considérons un cercle trigonométrique qui commence à zéro, 90 degrés correspond à 𝜋 sur deux, 180 degrés à 𝜋, 270 degrés à trois 𝜋 sur deux et 360 degrés à deux 𝜋.

Puisque notre angle est compris entre trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋, notre angle se situe dans le quatrième quadrant. Cela nous donne une information très importante. Dans le quatrième quadrant, nous avons des rapports de sinus négatifs, des rapports de cosinus positifs et des rapports de tangente négatifs. Autrement dit, nous savons que le rapport sinus et le rapport cosécante seront négatifs, mais que les rapports cosinus et sécante seront positifs. Néanmoins, il nous manque encore un élément d'information crucial, à savoir la longueur du troisième côté.

En effet, soit cet angle 𝜃, la longueur du côté opposé est de 15 et celle du côté adjacent est de 8. Nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur du troisième côté manquant, l'hypoténuse. Selon le théorème de Pythagore, 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, où 𝑐 est l'hypoténuse d'un triangle rectangle et 𝑎 et 𝑏 sont les deux autres longueurs de côté.

Dans notre cas, 𝐻 au carré est égal à 8 au carré plus 15 au carré. Ainsi, 64 plus 225 font 289, ce qui est l'hypoténuse au carré. Pour déterminer l'hypoténuse, il suffit de prendre la racine carrée des deux côtés de l'équation. La racine carrée de l'hypoténuse au carré est l'hypoténuse. La racine carrée de 289 est plus ou moins 17. Nous notons l'hypoténuse 17.

Le sinus de notre angle est égal à la longueur du côté opposé sur l'hypoténuse, soit 15 sur 17. Puisque nous savons où il se situe, nous pouvons dire que le sinus de 𝜃 est moins 15 sur 17. La cosécante est l'inverse de cette valeur, à savoir moins 17 sur 15. Ensuite, nous chercherons le cosinus de 𝜃, qui est la longueur du côté adjacent sur l'hypoténuse, soit huit sur 17. Ce qui devrait être une valeur positive. De plus, la sécante de notre angle sera l'inverse du cosinus, soit 17 sur huit. Pour cet angle, le sinus est moins 15 sur 17. Le cosinus est huit sur 17. La tangente égale moins 15 sur huit. Le cosécante a pour valeur moins 17 sur 15. la sécante est égale à 17 sur huit. Quant à la cotangente qui est donnée, elle donne moins huit sur 15.

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