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Propriétés des déterminants

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier les propriétés des déterminants et utiliser ces propriétés pour résoudre des problèmes. Nous ne nous focaliserons que sur quatre propriétés, et toutes les propriétés énumérées seront valables pour des matrices carrées de tout ordre. Cependant, nous ne nous focaliserons que sur les matrices d’ordre deux deux et trois trois. Avant de commencer avec ces propriétés, commençons par rappeler comment calculer les déterminants d’une matrice deux deux.

Le déterminant d’une matrice deux deux est la différence du produit des diagonales. Dans cette matrice, c’est 𝑎 un un fois 𝑎 deux deux moins 𝑎 un deux multiplié par 𝑎 deux un. Nous pouvons utiliser cette définition pour considérer notre première propriété. Commençons par appeler cette matrice 𝐴. Nous voulons voir s’il est possible d’écrire une formule pour le déterminant d’un multiple scalaire de 𝐴. Et bien sûr, dans ce cas, nous n’avons affaire qu’à des matrices deux deux. On peut le faire directement à partir de la définition d’un déterminant et d’une multiplication scalaire. Rappelons que lorsqu’on multiplie une matrice par un scalaire, on multiplie chaque élément de la matrice par le scalaire.

On peut alors calculer le déterminant de cette matrice en évaluant la différence entre les produits des diagonales. Et on obtient que le déterminant de la matrice 𝑘 fois 𝐴 est égal à 𝑘 fois 𝑎 un un multiplié par 𝑘 fois 𝑎 deux deux moins 𝑘 fois 𝑎 un deux multiplié par 𝑘 fois 𝑎 deux un. Et on peut simplifier cette expression. On constate que le premier terme a un facteur 𝑘 au carré et le deuxième terme a également un facteur 𝑘 au carré. Lorsqu’on factorise 𝑘 au carré on obtient l’expression suivante. On peut voir qu’il s’agit de 𝑘 au carré multiplié par la différence du produit des diagonales. Qui est le déterminant de 𝐴. Par conséquent, nous avons montré que pour un scalaire 𝑘 et une matrice 𝐴 de taille deux deux, le déterminant de 𝑘 fois 𝐴 est égal à 𝑘 au carré multiplié par le déterminant de 𝐴.

Nous pourrions montrer un résultat très similaire pour les matrices trois trois en utilisant la définition du déterminant, la plus grande différence étant lorsqu’on calcule le déterminant d’une matrice trois trois, on a trois facteurs. Donc, nous aurons des facteurs de 𝑘 au cube au lieu de 𝑘 au carré. En fait, cette propriété est vraie en général, même si nous ne l’avons démontrée que pour les matrices deux deux. On a pour toute matrice carrée 𝐴 d’ordre 𝑛 𝑛 et toute valeur scalaire 𝑘, le déterminant de 𝑘 fois 𝐴 est égal à 𝑘 puissance 𝑛 multiplié par le déterminant de 𝐴. Lorsqu’on calcule le déterminant d’une matrice, on peut factoriser un scalaire de 𝑘. On doit juste le mettre à la puissance 𝑛 où 𝑛 est l’ordre de la matrice 𝐴. Il y a d’autres opérations qu’on peut effectuer avec les matrices carrées. Voyons comment cela affecte le déterminant de notre matrice.

L’une de ces opérations est la transposée d’une matrice. Rappelons que, cela veut dire que les lignes deviennent les colonnes de la matrice et les colonnes deviennent les lignes de la matrice. Essayons de comparer le déterminant de la transposée de 𝐴 au déterminant de 𝐴 pour notre matrice deux deux. Tout d’abord, il convient de rappeler que lorsqu’on transpose une matrice, les lignes de la matrice deviennent les colonnes de la nouvelle matrice. On écrit la première ligne de la matrice 𝐴 comme première colonne de la transposée de 𝐴. Et nous pouvons voir que la seule différence entre la matrice 𝐴 et la transposée de 𝐴 est que l’élément de la première ligne, et deuxième colonne a changé de position avec l’élément de la deuxième ligne, première colonne. On peut calculer le déterminant de cette matrice en évaluant la différence entre les produits des diagonales. On obtient 𝑎 un un fois 𝑎 deux deux moins 𝑎 deux un multiplié par 𝑎 un deux. Ensuite, on peut écrire cela en terme du déterminant de 𝐴 en utilisant la commutativité de la multiplication scalaire. Cette expression est juste égale au déterminant de 𝐴.

Par conséquent, nous avons prouvé pour toute matrice deux deux que le déterminant de la transposée de 𝐴 est égale au déterminant de 𝐴. Nous pouvons prouver que le même résultat est valide pour les matrices trois trois ou, en fait, pour toute matrice carrée. La façon la plus simple de le faire est de développer le déterminant de 𝐴 suivant la première ligne, puis de développer le déterminant de la transposée de 𝐴 suivant la première colonne. Cela nous donne alors notre deuxième propriété. Pour toute matrice carrée 𝐴, le déterminant de la transposée de 𝐴 est égal au déterminant de 𝐴. Passons maintenant aux propriétés impliquant les déterminants de différentes façons de combiner des matrices.

La première façon de combiner des matrices est de les additionner. Si on a deux matrices deux deux 𝐴 et 𝐵, quel est le déterminant de leur somme ? Cependant, il s’avère que c’est un problème très compliqué. Et pour les matrices de tout ordre, cela devient impossible. Alors, considérons plutôt le produit de ces deux matrices. Quel est le déterminant de la matrice 𝐴 fois la matrice 𝐵 ?

Nous allons commencer par obtenir une expression du déterminant de 𝐴 fois 𝐵. Rappelons que lorsqu’on évalue le produit de deux matrices, les éléments de la ligne 𝑖 et de la colonne 𝑗 de leurs produits seront la somme des produits des éléments de la ligne 𝑖 de la matrice 𝐴 et de la colonne 𝑗 de la matrice 𝐵. Ainsi, par exemple, l’élément de la ligne un, colonne un de la matrice produit de 𝐴 fois 𝐵 est 𝑎 un un fois 𝑏 un un plus 𝑎 un deux multiplié par 𝑏 deux un. On peut utiliser ls même méthode pour déterminer la matrice 𝐴𝐵. Nous devons trouver le déterminant de cette matrice. Pour ce faire, nous devons évaluer la différence entre les produits des diagonales. Ce faisant, lorsqu’on développe nos parenthèses, et on simplifie, on obtient l’expression suivante. Et cette expression est très compliquée.

Cependant, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Cette expression est en fait égale au déterminant de la matrice 𝐴 multiplié par le déterminant de la matrice 𝐵. Nous pouvons le remarquer en factorisant notre expression ou en utilisant la double distributivité pour développer ces parenthèses. Nous avons montré que pour toutes matrices deux deux 𝐴 et 𝐵, le déterminant de 𝐴 fois 𝐵 est égal au déterminant de 𝐴 multiplié par le déterminant de 𝐵. Et en fait, nous pouvons prouver que ce résultat est valable en général. On a la troisième propriété des déterminants des matrices. Si 𝐴 et 𝐵 sont des matrices carrées de même ordre, alors le déterminant de 𝐴 fois 𝐵 est égal au déterminant de 𝐴 multiplié par le déterminant de 𝐵.

Il y a une autre propriété du déterminant des matrices que nous voulons démontrer. Cette fois, il s’agit du déterminant d’un type spécifique de matrice. Cette fois, nous voulons considérer le déterminant de toute matrice triangulaire, par exemple, la matrice triangulaire supérieure deux deux 𝑎 un un, 𝑎 un deux, zéro, 𝑎 deux deux. On peut calculer le déterminant de cette matrice ; c’est la différence entre les produits des diagonales. Cela nous donne 𝑎 un un fois 𝑎 deux deux moins zéro fois 𝑎 un deux. Et le deuxième terme a un facteur de zéro, il est donc égal à zéro. Nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Le déterminant de cette matrice est le produit des éléments de sa diagonale principale. Nous pouvons montrer que la même chose est vraie pour une matrice triangulaire inférieure d’ordre deux deux. Rappelons que, une matrice triangulaire inférieure est une matrice dans laquelle chaque élément au-dessus de la diagonale principale est égale à zéro. Le déterminant de la matrice deux deux 𝑏 un un, zéro, 𝑏 deux un, 𝑏 deux deux est égal à 𝑏 un un multiplié par 𝑏 deux deux, le produit des éléments sur sa diagonale principale.

Par conséquent, nous avons prouvé que le déterminant de toute matrice triangulaire deux deux est le produit des éléments sur sa diagonale principale. En fait, nous pouvons prouver ce résultat pour les matrices triangulaires supérieures ou inférieures d’ordre trois trois, simplement en utilisant la définition du déterminant. Et nous pouvons également prouver cela pour toutes matrices carrées d’ordre supérieur. Cela nous donne notre quatrième propriété des déterminants. Le déterminant de toute matrice carrée triangulaire, supérieure ou inférieure, est le produit des éléments sur sa diagonale principale. Voyons maintenant un exemple de comment utiliser certaines de ces propriétés pour résoudre des problèmes impliquant les déterminants de différentes matrices.

Si 𝐴 est une matrice carrée d’ordre deux deux et que le déterminant de deux 𝐴 est égal à 12, quelle est la valeur du déterminant de trois fois la transposée de 𝐴 ? Est-ce option (A) 18, option (B) 24, option (C) 27 ? Ou est-ce option (D) 36 ?

Dans cette question, on nous donne des informations sur le déterminant d’une matrice deux deux, 𝐴. On nous dit que le déterminant de deux 𝐴 est égal à 12, et nous devons utiliser cette information pour évaluer le déterminant de trois fois la transposée de 𝐴. Puisqu’on nous dit que 𝐴 est une matrice deux deux, on pourrait être tenté de commencer par définir 𝐴 comme étant une matrice à quatre inconnus. Nous pourrions alors substituer notre expression pour 𝐴 dans notre équation pour trouver une expression pour le déterminant de 𝐴, puis essayer de l’utiliser pour trouver une expression pour le déterminant de trois fois la transposée de 𝐴. Et cela fonctionnerait ; Cependant, ce serait très compliqué. Au lieu de cela, nous devons noter que nos équations contiennent des déterminants de matrices.

Nous allons donc commencer par simplifier en utilisant les propriétés des déterminants. Nous allons commencer par simplifier l’expression : le déterminant de deux fois 𝐴. Et pour ce faire, nous allons commencer par rappeler la propriété suivante. Pour toute matrice carrée 𝐵 d’ordre 𝑛 𝑛 et toute valeur scalaire 𝑘, le déterminant de 𝑘 fois 𝐵 est égal à 𝑘 puissance 𝑛 multiplié par le déterminant de 𝐵. Dans notre cas, 𝐴 est une matrice d’ordre deux deux. Ainsi, notre valeur de 𝑛 est deux, et donc le déterminant de deux 𝐴 est égal à deux au carré multiplié par le déterminant de 𝐴, qui est bien sûr quatre fois le déterminant de 𝐴. Nous pouvons alors introduire cette expression du déterminant de deux 𝐴 dans l’équation donnée dans la question. Cela nous donne quatre fois le déterminant de 𝐴 est égal à 12. Et on peut évaluer le déterminant de 𝐴. On divise les deux côtés de l’équation par quatre. Et on obtient que le déterminant de 𝐴 est égal à trois.

Cependant, on ne nous demande pas d’évaluer le déterminant de 𝐴 ; on nous demande d’évaluer le déterminant de trois fois la transposée de 𝐴. Pour ce faire, essayons de simplifier cette expression en utilisant les propriétés des déterminants. Tout d’abord, rappelons que lorsqu’on transpose une matrice, on échange les lignes avec les colonnes. Ainsi, la transposée de la matrice 𝐴 est également une matrice d’ordre deux deux. Cela signifie qu’on peut à nouveau appliquer la même propriété. La transpose de 𝐴 est une matrice deux deux. Par conséquent, le déterminant de trois multiplié par la transposée de 𝐴 est égal à trois au carré multiplié par le déterminant de la transposée de 𝐴. Et on peut simplifier cela et obtenir neuf multiplié par la transposée de 𝐴, mais on peut encore simplifier cette expression en utilisant une autre propriétés des déterminants.

Rappelons que pour toute matrice carrée 𝐵, le déterminant de la transposée de 𝐵 est égale au déterminant de 𝐵. Et nous savons que la transposée de 𝐴 est une matrice carrée, nous pouvons donc la remplacer par le déterminant de 𝐴 et obtenir neuf multiplié par le déterminant de 𝐴. Et nous connaissons la valeur du déterminant de la matrice 𝐴. C’est égal à trois. Par conséquent, nous pouvons juste remplacer le déterminant de 𝐴 par trois et obtenir neuf fois trois, qui est égal à 27, ce qui correspond à l’option (C).

Par conséquent, nous avons montré que si 𝐴 est une matrice carrée d’ordre deux deux et que le déterminant de deux 𝐴 est égal à 12, alors le déterminant de trois fois la transposée de 𝐴 est égal à 27.

Considérons maintenant un autre exemple dans lequel on utilise les propriétés du déterminant du produit de deux matrices.

Si le déterminant de 𝐴 fois 𝐵 est égal à 18 et le déterminant de 𝐴 est égal à deux, calculez le déterminant de 𝐵.

Dans cette question, on nous donne des informations sur deux matrices, 𝐴 et 𝐵. On nous dit que le déterminant de la matrice 𝐴 multipliée par la matrice 𝐵 est 18 et le déterminant de la matrice 𝐴 est égal à deux. Nous devons utiliser ces informations pour calculer le déterminant de 𝐵. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler la propriété des déterminants, qui relie les produits des matrices au déterminant de chaque matrice.

Rappelons que si 𝐴 et 𝐵 sont des matrices carrées de même ordre, alors le déterminant de 𝐴 fois 𝐵 est égal au déterminant de 𝐴 multiplié par le déterminant de 𝐵. Nous pourrions être tentés d’appliquer cette propriété directement à notre question. Cependant, il y a un problème ; on ne nous a pas donné les ordres des matrices 𝐴 et 𝐵. Or pour appliquer cette propriété, il faut que les matrices 𝐴 et 𝐵 soient des matrices carrées de même ordre. Cependant, nous pouvons démontrer que c’est le cas à partir des informations données. Premièrement, on nous dit que le déterminant de la matrice 𝐴 est égal à deux. Et nous savons que pour calculer le déterminant d’une matrice, elle doit être carrée, et donc 𝐴 est une matrice carrée. De même, le déterminant de 𝐴𝐵 est égal à 18, donc 𝐴 fois 𝐵 est aussi une matrice carrée.

Nous pouvons utiliser cette information pour trouver une expression pour l’ordre de la matrice 𝐵. Premièrement, puisque 𝐴 est une matrice carrée, commençons par dire que son ordre est de la forme 𝑛 𝑛. Ensuite, nous ne connaissons pas l’ordre de la matrice 𝐵. Disons que son ordre est 𝑚 𝑙. Il existe deux façons différentes de trouver une expression pour l’ordre de 𝐴 fois 𝐵. Tout d’abord, rappelons que, chaque fois qu’on multiplie deux matrices, l’ordre du résultat sera le nombre de lignes de notre première matrice et le nombre de colonnes de notre deuxième matrice. Donc, 𝐴𝐵 doit être d’ordre 𝑛 𝑙. Cependant, nous avons déjà montré que 𝐴𝐵 est une matrice carrée. Donc, le nombre de lignes doit être égal au nombre de colonnes. En d’autres termes, 𝑛 est égal à 𝑙. Nous pouvons donc remplacer 𝑙 par 𝑛.

Enfin, pour déterminer la valeur de 𝑚, nous remarquons que nous pouvons multiplier 𝐴 à droite par la matrice 𝐵. Et rappelons que pour que la multiplication des matrices soit bien définie, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde matrice. Donc, 𝑛 doit être égal à 𝑚. Par conséquent, nous avons montré que 𝐴 est une matrice carrée, 𝐵 est une matrice carrée et que les matrices 𝐴 et 𝐵 sont de même ordre. Donc, nous pouvons simplement appliquer notre propriété à la question. On a le déterminant de 𝐴𝐵 est égal au déterminant de 𝐴 multiplié par le déterminant de 𝐵. Ensuite, on nous dit dans la question que le déterminant de 𝐴𝐵 est égal à 18 et le déterminant de 𝐴 est égal à deux. Donc, 18 est égal à deux fois le déterminant de 𝐵. Enfin, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par deux et obtenir que le déterminant de 𝐵 égale neuf.

Par conséquent, nous avons pu montrer que si le déterminant de 𝐴𝐵 est égal à 18 et le déterminant de 𝐴 est égal à deux, alors le déterminant de 𝐵 doit être égal à neuf.

Passons maintenant à une question qui nous demande d’évaluer le déterminant d’une matrice triangulaire.

Évaluez le déterminant de la matrice trois trois ; cinq, moins un, moins huit, zéro, deux, 60, zéro, zéro, zéro.

Dans cette question, on nous demande d’évaluer le déterminant d’une matrice trois trois. On peut le faire en utilisant la définition d’un déterminant. Cependant, il existe en fait une méthode plus facile si on peut simplement remarquer la propriété de cette matrice. Nous devons remarquer qu’il s’agit d’une matrice triangulaire supérieure. Cela signifie que chaque élément en dessous de la diagonale principale de cette matrice est égale à zéro. La diagonale principale d’une matrice est constituée des éléments dont le numéro de ligne est égal au numéro de colonne. Donc, pour cette matrice, on a cinq, deux et zéro. Donc, cette matrice est une matrice triangulaire supérieure.

Et nous rappelons que le déterminant de toute matrice triangulaire carrée est le produit de tous les éléments sur sa diagonale principale. Dans notre cas, la diagonale principale a les termes cinq, deux et zéro. Par conséquent, le déterminant de cette matrice est cinq multiplié par deux multiplié par zéro, qui est égal à zéro.

Donc, le déterminant de la matrice trois trois ; cinq, moins un, moins huit, zéro, deux, 60, zéro, zéro, zéro est égal à zéro.

Passons maintenant à un exemple dans lequel on doit utiliser le déterminant d’une matrice diagonale pour déterminer la valeur d’une variable.

Considérez l’équation qui suit, le déterminant de la matrice trois trois 𝑥 moins un, zéro, zéro, zéro, 𝑥 au carré plus 𝑥 plus un, zéro, zéro, zéro, un est égal à deux. Évaluez 𝑥 puissance six.

Dans cette question, on nous donne une équation qui contient le déterminant d’une matrice trois trois qui a une variable 𝑥. Nous devons utiliser cela pour évaluer 𝑥 puissance six. Pour ce faire, nous devons trouver une expression pour le déterminant de cette matrice. On peut le faire en utilisant la définition du déterminant, en développant suivant une des lignes ou colonnes. Cependant, nous pouvons également remarquer que chaque élément qui n’est pas sur la diagonale principale de cette matrice est égal à zéro. En d’autres termes, cette matrice trois trois est une matrice diagonale. Et on peut utiliser cela pour calculer le déterminant de cette matrice car chaque matrice diagonale est une matrice triangulaire supérieure et inférieure. Par exemple, chaque entrée sous la diagonale principale de notre matrice est zéro. Donc, c’est un exemple de matrice triangulaire supérieure.

Maintenant, il suffit de rappeler que le déterminant de toute matrice triangulaire carrée est le produit des éléments sur sa diagonale principale. Et il convient de noter que puisque toutes les matrices diagonales sont à la fois des matrices triangulaires supérieures et inférieures, cette propriété sera également valable pour toute matrice diagonale carrée. Par conséquent, nous pouvons évaluer le déterminant de cette matrice en trouvant le produit de sa diagonale principale, 𝑥 moins un fois 𝑥 au carré plus 𝑥 plus un multiplié par un. On peut ensuite développer les parenthèses. On obtient 𝑥 cube plus 𝑥 au carré plus 𝑥 moins 𝑥 au carré moins 𝑥 moins un. Et si on simplifie cette expression, on obtient 𝑥 au cube moins un. Et on nous a dit dans la question que ce déterminant est égal à deux.

Par conséquent, notre expression pour le déterminant est égale à deux. 𝑥 cube moins un est égal à deux. Nous voulons utiliser cela pour évaluer 𝑥 puissance six. Alors, commençons par ajouter un des deux côtés de l’équation, ce qui nous donne 𝑥 au cube est égal à trois. Et puis, on peut trouver une expression pour 𝑥 puissance six en mettant les deux côtés de notre équation au carré, et on a 𝑥 puissance six est égal à neuf, ce qui est notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons montré que si le déterminant de la matrice trois trois 𝑥 moins un, zéro, zéro, zéro, 𝑥 au carré plus 𝑥 plus un, zéro, zéro, zéro, un est égal à deux, alors 𝑥 puissance six est égal à neuf.

Passons maintenant en revue les points clés de cette vidéo. Nous avons trouvé et prouvé quatre résultats utiles impliquant les déterminants des matrices. Tout d’abord, nous avons montré que pour toute matrice carrée 𝐴 d’ordre 𝑛 𝑛 et un scalaire 𝑘, le déterminant de 𝑘𝐴 est égal à 𝑘 puissance 𝑛 multiplié par le déterminant de 𝐴. Ensuite, nous avons montré que pour toute matrice carrée 𝐴, le déterminant de la transposée de 𝐴 est égal au déterminant de 𝐴. Ensuite, nous avons montré que pour toutes matrices carrées 𝐴 et 𝐵 de même ordre, le déterminant de 𝐴 fois 𝐵 est égal au déterminant de 𝐴 multiplié par le déterminant de 𝐵. Enfin, nous avons montré que le déterminant de toute matrice carrée triangulaire est le produit de tous les éléments sur sa diagonale principale. Et ce résultat est valable pour les matrices triangulaires supérieures et inférieures. Et cela est aussi valable pour les matrices carrées diagonales, car toutes les matrices diagonales sont à la fois des matrices triangulaires supérieures et inférieures.