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Vidéo de la leçon : Fonctions de variation Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer la fonction de variation d’une fonction en un point.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer la fonction de variation d’une fonction en un point. Nous allons d’abord voir la définition de la fonction de variation d’une fonction, puis nous verrons comment l’évaluer en un point. Vous devez déjà être familier avec différents types de fonctions, notamment les fonctions polynômes et trigonométriques.

Soit une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Lorsque la valeur de 𝑥 varie, la valeur de la fonction f varie également. Et cette fonction est représentée graphiquement par l’ensemble des points 𝑥, 𝑓 de 𝑥. Lorsque 𝑥 est égal à 𝑎, 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑎, et cela correspond au point 𝑎, 𝑓 de 𝑎 sur sa courbe représentative. Quand 𝑥 égale 𝑏, 𝑦 égale 𝑓 de 𝑏, et cela correspond au point 𝑏, 𝑓 de 𝑏 sur sa courbe représentative. La variation 𝑉 mesure alors la variation de 𝑓 de x lorsque 𝑥 passe de 𝑎 à 𝑏, elle est donc égale à 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎. On la note souvent Δ𝑦. Il s’agit de la variation des images correspondant à la variation de 𝑥, 𝑏 moins 𝑎, et que l’on note Δ𝑥. Si la valeur de 𝑉 est positive, la valeur de 𝑓 de x a augmenté pour cette variation de 𝑥. Si 𝑉 est égale à zéro, la fonction a la même valeur aux deux points. Et si 𝑉 est inférieure à zéro, alors la valeur de 𝑓 de x a diminué pour cette variation de 𝑥.

Considérons par exemple la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 égale quatre 𝑥 carré plus un. Nous souhaitons calculer sa variation entre 𝑥 égale deux et 𝑥 égale quatre. On rappelle que la variation d’une fonction est égale à 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 lorsque 𝑥 varie de 𝑎 à 𝑏. Dans notre cas, 𝑎 égale deux et 𝑏 égale quatre. Et notre fonction est 𝑓 de x égale quatre 𝑥 carré plus un. La variation 𝑉 est donc égale à 𝑓 de quatre moins 𝑓 de deux. En substituant quatre et deux dans l’expression de la fonction, on obtient quatre fois quatre au carré plus un moins quatre fois deux au carré plus un. Ce qui fait 65 moins 17, soit 48. Par conséquent, si 𝑥 varie de deux à quatre, la valeur de 𝑓 de 𝑥 varie de plus 48 unités car 𝑉 est positif.

Cela signifie que 𝑓 de 𝑥 a augmenté de 48 unités. En fait, le signe de la variation 𝑉 est le même que le signe du coefficient directeur de la droite passant par les deux points 𝑎, 𝑓 de 𝑎 et 𝑏, 𝑓 de 𝑏. La variation est donc définie comme un nombre ou une mesure de la variation de 𝑓 de x lorsque 𝑥 varie de 𝑎 à 𝑏. Nous allons maintenant voir comment la fonction de variation est construite. On peut pour cela envisager la variation de 𝑥 d’une manière légèrement différente. Si on appelle Δ𝑥 la variation de 𝑥 de 𝑎 à 𝑏, c’est-à-dire 𝑏 moins 𝑎, on peut réorganiser cette équation pour isoler 𝑏 et obtenir 𝑏 égale 𝑎 plus Δ𝑥. La variation devient alors 𝑓 de 𝑎 plus Δ𝑥 moins 𝑓 de 𝑎.

Maintenant, Δ𝑥 représente en fait une variation quelconque de 𝑥, on peut donc la désigner par la variable ℎ. Vous verrez que cette notation est également utilisée en analyse pour définir les dérivées. La fonction de variation 𝑉 de ℎ est alors égale à 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎, ce qui est égal à la variation de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 varie d’une quantité h à partir de 𝑥 égale 𝑎. Voyons maintenant une application de cela pour une fonction affine.

Pour la fonction 𝑓 telle que 𝑓 de 𝑥 égale cinq 𝑥 moins trois, sa fonction de variation 𝑉 de ℎ est égale à quoi en 𝑥 égale deux.

Nous souhaitons déterminer l’expression de la fonction de variation 𝑉 de ℎ pour 𝑓 de 𝑥 égale cinq 𝑥 moins trois en 𝑥 égale deux. On rappelle pour cela que la fonction de variation d’une fonction 𝑓 en 𝑥 égale 𝑎 est définie par 𝑉 de ℎ égale 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎, où ℎ est la variation de 𝑥. Dans ce cas, le point initial 𝑎 est égal à deux, donc la fonction de variation 𝑉 de ℎ est égale à 𝑓 de deux plus ℎ moins 𝑓 de deux. Maintenant, en substituant d’abord 𝑥 égale deux plus ℎ dans l’expression de 𝑓 de x, on a 𝑓 de deux plus ℎ égale cinq fois deux plus ℎ moins trois, c’est-à-dire 10 plus cinq ℎ moins trois, soit sept plus cinq ℎ.

Si on substitue ensuite 𝑥 égale deux dans l’expression de 𝑓 de 𝑥, on a 𝑓 de deux égale cinq fois deux moins trois, ce qui fait 10 moins trois, soit sept. En remplaçant ces valeurs dans l’expression de la fonction de variation, on obtient 𝑉 de ℎ égale sept plus cinq ℎ moins sept. Et comme sept moins sept égale zéro, la fonction est égale à cinq ℎ. La fonction de variation 𝑉 de ℎ de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale cinq 𝑥 moins trois en 𝑥 égale deux est donc 𝑉 de ℎ égale cinq ℎ.

Il est intéressant de noter que pour toute fonction affine de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐, la fonction de variation 𝑉 de ℎ en 𝑥 égale 𝑎 est en fait définie par 𝑚 fois 𝑎 plus h plus 𝑐 moins 𝑚𝑎 plus 𝑐. Et cela est égal à 𝑚 ℎ. Autrement dit, 𝑉 de ℎ est proportionnel au coefficient directeur 𝑚 de la droite définie par la fonction 𝑓. On peut également utiliser la fonction de variation pour déterminer la quantité dont la valeur d’une fonction varie pour une variation spécifique de 𝑥. Voyons comment cela fonctionne dans un exemple où la fonction 𝑓 est cette fois une fonction du second degré.

Sachant que 𝑉 est la fonction de variation de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 carré moins quatre 𝑥 plus deux, quelle est la valeur de 𝑉 de moins 0,2 en 𝑥 égale huit?

Nous avons une fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 carré moins quatre 𝑥 plus deux et nous devons calculer la valeur de sa fonction de variation si 𝑥 varie de moins 0,2 à partir de 𝑥 égale huit. La première chose à faire est de déterminer l’expression de la fonction de variation 𝑉 de ℎ. On rappelle pour cela que la fonction de variation d’une fonction f en 𝑥 égale 𝑎 est définie par 𝑉 de ℎ égale 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎. Où ℎ représente la variation de 𝑥. Dans notre cas, la fonction est 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 carré moins quatre 𝑥 plus deux. On doit calculer sa variation en 𝑥 égale huit donc 𝑎 est égal à huit et la fonction de variation V de ℎ est 𝑓 de huit plus ℎ moins 𝑓 de huit.

On peut approcher ce problème de deux manières. Nous savons que la variation de 𝑥 est de moins 0,2, ce qui signifie que ℎ est égal à moins 0,2. On pourrait substituer cette valeur directement dans l’expression actuelle de 𝑉 de ℎ. Ou on peut déterminer d’abord l’expression exacte de 𝑉 de ℎ, la fonction de variation en fonction de ℎ, puis substituer ℎ égale moins 0,2. Nous allons ici suivre la deuxième méthode et déterminer l’expression de la fonction de variation 𝑉 de ℎ. On commence donc par substituer 𝑥 égale huit plus ℎ dans l’expression de 𝑓 de 𝑥. Cela nous donne huit plus ℎ au carré moins quatre fois huit plus ℎ plus deux. En distribuant les parenthèses, on a 64 plus 16ℎ plus ℎ carré moins 32 moins quatre ℎ plus deux. Et en regroupant les termes semblables, on obtient h carré plus 12ℎ plus 34.

Pour calculer maintenant 𝑓 de huit, on substitue 𝑥 égale huit dans l’expression de 𝑓 de 𝑥, ce qui nous donne huit au carré moins quatre fois huit plus deux. Et cela est égal à 34. En substituant maintenant ces deux résultats dans l’expression de 𝑉 de ℎ, on obtient h carré plus 12ℎ plus 34 moins 34, c’est-à-dire ℎ carré plus 12ℎ. Il s’agit de la fonction de variation 𝑉 de ℎ de 𝑓 en 𝑥 égale huit. Pour calculer maintenant 𝑉 de moins 0,2, on remplace h par moins 0,2. Cela nous donne moins 0,2 au carré plus 12 fois moins 0,2. Cela fait 0,04 moins 2,4, soit moins 2,36. Pour 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 carré moins quatre 𝑥 plus deux en x égale huit, 𝑉 de moins 0,2 est donc égal à moins 2,36.

Cela signifie que si x varie de moins 0,2 à partir de 𝑥 égale huit, alors la valeur de la fonction 𝑓 diminue de 2,36. Il aurait été un peu plus rapide d’utiliser la substitution directe de ℎ égale moins 0,2 dans la première expression de 𝑉 de ℎ. Il est cependant utile de savoir déterminer l’expression de la fonction de variation 𝑉 de ℎ.

Bien entendu, les fonctions de variation ne s’appliquent pas seulement aux fonctions polynômes. Nous allons maintenant déterminer l’expression de 𝑉 de ℎ pour une fonction trigonométrique. Dans cet exemple, nous allons également utiliser la fonction de variation pour calculer une valeur inconnue.

Déterminez l’expression de la fonction de variation de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 sinus 𝑥 en 𝑥 égale 𝜋. Sachant que 𝑉 de 𝜋 sur deux est égal à un, calculez 𝑎.

Ce problème comporte deux questions. Nous devons déterminer l’expression de la fonction de variation de la fonction trigonométrique 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 sin 𝑥 en 𝑥 égale 𝜋, puis calculer la valeur de 𝑎 sachant que 𝑉 de 𝜋 sur deux est égal à un. Commençons par rappeler que pour une fonction 𝑓, sa fonction de variation 𝑉 de ℎ en 𝑥 égale 𝛼 est 𝑉 de ℎ égale 𝑓 de 𝛼 plus ℎ moins 𝑓 de 𝛼. Où ℎ représente la variation de 𝑥. Nous devons ici calculer la valeur de la fonction de variation en 𝑥 égale 𝜋, 𝛼 est donc égal à 𝜋. Cela signifie que la fonction de variation 𝑉 de ℎ est 𝑓 de 𝜋 plus ℎ moins 𝑓 de 𝜋.

Nous devons donc déterminer 𝑓 de 𝜋 plus ℎ et 𝑓 de 𝜋. En substituant d’abord 𝑥 égale 𝜋 plus ℎ dans l’expression de 𝑓 de x, on a 𝑓 de 𝜋 plus ℎ égale 𝑎 fois sin de 𝜋 plus ℎ. 𝑓 de 𝜋 est simplement égal à 𝑎 sin 𝜋 donc la fonction 𝑉 de ℎ est égale à 𝑎 sin de 𝜋 plus ℎ moins 𝑎 sin 𝜋. Or on sait que sin 𝜋 est égal à zéro, donc 𝑎 sin 𝜋 est égal à zéro. Et on obtient 𝑉 de ℎ égale 𝑎 sin de 𝜋 plus ℎ. Pour l’expression sin de 𝜋 plus ℎ, on peut utiliser l’identité sin de 𝜋 plus ou moins grand 𝐴 égale moins ou plus sin de grand 𝐴. Dans notre cas, grand 𝐴 correspond à ℎ, on a donc moins petit 𝑎 fois sinus ℎ. La fonction de variation 𝑉 de ℎ est donc égale à moins 𝑎 sin ℎ.

Nous devons ensuite calculer la valeur de 𝑎 sachant que 𝑉 de 𝜋 sur deux est égal à un. On substitue donc ℎ égale 𝜋 sur deux dans 𝑉 de ℎ et on pose cette expression égale à un. On a alors 𝑉 de 𝜋 sur deux égale moins 𝑎 sin de 𝜋 sur deux égale un. Et on sait que sin de 𝜋 sur deux est égal à un donc on obtient moins 𝑎 fois un égale un. C’est-à-dire, moins 𝑎 égale un. Et en multipliant les deux membres par moins un, on obtient 𝑎 égale moins un. La fonction de variation de 𝑓 de x égale 𝑎 sin 𝑥 en 𝑥 égale π est 𝑉 de ℎ égale moins 𝑎 sin ℎ. Et si 𝑉 de 𝜋 sur deux est égal à un, alors 𝑎 est égal à moins un.

Dans le dernier exemple, nous allons à nouveau déterminer l’expression de la fonction de variation d’une fonction du second degré. Puis nous utiliserons une valeur spécifique de la fonction de variation pour calculer une inconnue.

Déterminez l’expression de la fonction de variation 𝑉 de ℎ pour 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 carré plus 𝑎𝑥 plus 17 en 𝑥 égale moins un. Calculez 𝑎 sachant que 𝑉 de quatre sur neuf égale 11 sur six.

Nous avons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 carré plus 𝑎𝑥 plus 17 et nous devons déterminer l’expression de sa fonction de variation en 𝑥 égale moins un. On rappelle pour cela que pour une fonction 𝑓 en 𝑥 égale 𝛼, sa fonction de variation 𝑉 de ℎ est 𝑓 de 𝛼 plus ℎ moins 𝑓 de 𝛼, où ℎ est la variation de 𝑥 à partir de 𝑥 égale 𝛼. Une fois que aurons déterminé l’expression de la fonction 𝑉 de ℎ, nous pourrons remplacer ℎ par quatre sur neuf pour trouver la valeur de 𝑎. On a donc 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 carré plus 𝑎𝑥 plus 17. Comme on doit déterminer l’expression de sa fonction de variation en 𝑥 égale moins un, il s’agit de la valeur de 𝛼. Et en remplaçant 𝛼 par moins un, on obtient 𝑉 de ℎ égale 𝑓 de moins un plus ℎ moins 𝑓 de moins un.

On évalue maintenant la fonction 𝑓 en 𝑥 égale moins un plus ℎ, ce qui donne moins moins un plus ℎ au carré plus 𝑎 fois moins un plus ℎ plus 17. 𝑓 de moins un plus ℎ est donc égal à moins un moins deux ℎ plus ℎ carré moins 𝑎 plus 𝑎ℎ plus 17. En distribuant le moins un et en regroupant les termes semblables, on obtient moins ℎ au carré plus ℎ fois 𝑎 plus deux plus 16 moins 𝑎. Pour 𝑓 de moins un, on a maintenant moins moins un au carré plus 𝑎 fois moins un plus 17, c’est-à-dire moins un moins 𝑎 plus 17, ce qui fait 16 moins 𝑎. En substituant ces deux résultats dans l’expression de 𝑉 de ℎ, on voit que 16 moins 𝑎 moins 16 moins 𝑎 égale zéro donc 𝑉 de ℎ égale moins ℎ carré plus ℎ fois 𝑎 plus deux.

La fonction de variation de 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 carré plus 𝑎𝑥 plus 17 en 𝑥 égale moins un est 𝑉 de ℎ égale moins ℎ au carré plus ℎ fois 𝑎 plus deux. Maintenant, l’énoncé indique que 𝑉 de quatre sur neuf est égal à 11 sur six. Cela signifie qu’en remplaçant ℎ par quatre sur neuf dans 𝑉 de ℎ, on devrait obtenir 11 sur six. Par conséquent moins quatre sur neuf au carré plus quatre sur neuf fois 𝑎 plus deux égale 11 sur six. Et nous allons utiliser cette équation pour calculer la valeur de 𝑎. En développant les parenthèses, on a moins 16 sur 81 plus quatre 𝑎 sur neuf plus huit sur neuf égale 11 sur six. Si on ajoute maintenant 16 sur 81 et que l’on soustrait huit sur neuf aux deux membres, puis que l’on multiplie les deux membres par neuf sur quatre, on peut isoler 𝑎 sur le membre gauche.

En distribuant le neuf sur quatre, on obtient alors 𝑎 égale 33 sur huit plus quatre sur neuf moins deux, ce qui donne environ 2,5694. Pour la fonction de variation 𝑉 de ℎ égale moins ℎ au carré plus ℎ fois 𝑎 plus deux, la valeur de 𝑎 est donc de 2,57 arrondie au centième près.

Terminons maintenant par rappeler certains des points clés de cette vidéo. Nous avons appris que pour une fonction 𝑓, sa variation 𝑉 mesure la variation de 𝑓 de x lorsque 𝑥 passe de 𝑥 égale 𝑎 à 𝑥 égale 𝑏, et 𝑉 est égale 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎. Nous avons également vu que si 𝑉 est positive, c’est-à-dire strictement supérieure à zéro, 𝑓 de 𝑥 augmente entre 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏. Si 𝑉 est nulle, la fonction a la même valeur en 𝑥 égale 𝑎 et en 𝑥 égale 𝑏. Et si 𝑉 est inférieure à zéro, alors 𝑓 de 𝑥 diminue entre 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏.

La fonction de variation de 𝑓 en 𝑥 égale 𝑎 est 𝑉 de ℎ égale 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎, où ℎ est la variation de 𝑥. Si 𝑓 est une fonction affine d’expression m 𝑥 plus 𝑐, alors 𝑉 de ℎ égale 𝑚 ℎ. Cela signifie que la fonction de variation d’une fonction affine est proportionnelle au coefficient directeur 𝑚 de la droite définie par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐. Enfin, pour une variation spécifique de 𝑥, par exemple ℎ zéro, on peut utiliser la valeur de la fonction de variation en ce point pour trouver des informations sur la fonction 𝑓, tels que des coefficients inconnus.

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