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Vidéo de la leçon : Opérations sur les événements : différence Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la probabilité de la différence entre deux événements.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la probabilité de la différence entre deux événements. On écrit cela comme la probabilité de 𝐴 moins 𝐵, où 𝐴 et 𝐵 sont deux événements tels que 𝐴 moins 𝐵 est représenté par tous les résultats qui sont dans l’événement 𝐴 mais pas dans l’événement 𝐵. Nous allons commencer cette vidéo en introduisant quelques notations et formules clés.

Dans le diagramme de Venn qui représente les événements 𝐴 et 𝐵, la probabilité de 𝐴 est représentée par la section ombragée. On représente l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵 sur un diagramme de Venn par le chevauchement entre les cercles. Ce sont les issues qui se produisent dans l’événement 𝐴 et l’événement 𝐵. Lorsqu’on combine ces deux définitions on obtient la formule de la différence, qui stipule que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. On peut représenter cela sur un diagramme de Venn comme indiqué.

On peut utiliser la même méthode pour prouver que la probabilité de 𝐵 moins 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. Sur un diagramme de Venn, on peut montrer cela en ombrageant la région qui est dans le cercle 𝐵 mais pas dans le cercle 𝐴. Nous allons maintenant examiner quelques exemples dans lesquels on doit utiliser la formule de la différence.

Supposez que 𝐴 et 𝐵 sont deux événements. Sachant que la probabilité de 𝐴 est de 0,3 et la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est de 0,03, déterminez la probabilité de 𝐴 moins 𝐵.

Commençons par rappeler la notation indiquée dans cette question. Tout d’abord, on a l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵. Il s’agit de toutes les issues qui se produisent dans l’événement 𝐴 et dans l’événement 𝐵. On peut représenter cela sur un diagramme de Venn comme indiqué. La probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est la différence et on peut la représenter sur un diagramme de Venn comme indiqué. Il s’agit de toutes les issues de l’événement 𝐴 qui ne sont pas dans l’événement 𝐵.

Rappelons que la formule de la différence stipule que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. En utilisant les valeurs données dans la question, la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à 0,3 moins 0,03. Cela est égal à 0,27.

Dans le prochain exemple, nous allons examiner un problème dans son contexte.

Une balle est tirée de façon aléatoire d’un sac qui contient 12 balles ayant chacune un nombre unique de 1 à 12. Supposez que 𝐴 est l’événement que le nombre tiré est impair et 𝐵 est l’événement que le nombre tiré soit un nombre premier. Déterminez la probabilité de 𝐴 moins 𝐵.

On nous demande dans cette question de déterminer la probabilité de 𝐴 moins 𝐵. Et on peut faire cela avec la formule de la différence. Elle stipule que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. On nous dit dans la question qu’il y a 12 balles, chacune avec un nombre unique de un à 12 comme indiqué. On nous dit que 𝐴 est l’événement de tirer un nombre impair. Il y en a six dans le sac, les nombres un, trois, cinq, sept, neuf et 11. Cela signifie que la probabilité de l’événement 𝐴, sélectionner une balle avec un nombre impaire, est de six sur 12 ou six douzièmes. Si on divise le numérateur et le dénominateur par six, on voit que cela devient un-demi.

On nous dit aussi que 𝐵 est l’événement de tirer un nombre premier. Nous savons qu’un nombre premier a exactement deux facteurs, le nombre un et le nombre lui-même. Les nombres premiers entre un et 12 sont deux, trois, cinq, sept et 11. Puisqu’il y en a cinq, la probabilité de l’événement 𝐵 est de cinq sur 12 ou cinq douzièmes. À ce stade, nous avons la probabilité de 𝐴, mais nous n’avons pas la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. L’intersection de deux événements correspond à toutes les issues qui sont communes aux deux événements. Dans ce cas, les nombres trois, cinq, sept et 11 sont à la fois des nombres impairs et des nombres premiers. La probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est donc égale à quatre douzièmes, ce qui équivalent à un tiers.

Nous pouvons maintenant calculer la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 en soustrayant un tiers de un demi. En utilisant des fractions équivalentes, cela est égal à trois sixièmes moins deux sixièmes. La probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est donc égale à un sixième. Donc, la probabilité de tirer un nombre impair qui n’est pas un nombre premier est d’un sixième.

Nous pourrions également représenter cela en énumérant toutes les issues sur un diagramme de Venn. Nous avons déjà mentionné que les nombres trois, cinq, sept et 11 sont à la fois impairs et premiers. Il y a deux autres nombres impairs entre un et 12, les nombres un et neuf. Et il y a un autre nombre premier, le nombre deux. Les nombres quatre, six, huit, 10 et 12 ne sont ni impairs ni premiers. Par conséquent, on les écrit hors des deux cercles qui représentent l’événement 𝐴 et l’événement 𝐵.

Deux des nombres se trouvent dans la section représentée par la probabilité de 𝐴 moins 𝐵. Il s’agit des nombres un et neuf, car ils sont impairs mais pas premiers. Cela confirme que la probabilité de tirer une de ces balles est de deux sur 12, ce qui est égal à un sixième.

Avant de passer à l’exemple suivant, nous allons rappeler l’une de nos autres formules de probabilité. La probabilité du complément de l’événement 𝐴, notée 𝑃 de 𝐴 prime ou 𝑃 de 𝐴 bar, est la probabilité que l’événement 𝐴 ne se produise pas. Cela satisfait la formule suivante : la probabilité de 𝐴 prime est égale à un moins la probabilité de 𝐴. Nous allons maintenant voir un exemple dans lequel nous devons utiliser cela.

Supposez que 𝐴 et 𝐵 sont deux événements. Sachant que 𝐴 intersection 𝐵 est l’ensemble vide, la probabilité de 𝐴 prime est de 0,66, et la probabilité de 𝐵 prime est de 0,79, calculez la probabilité de 𝐵 moins 𝐴.

Avant de répondre à cette question, rappelons quelques notations. Nous savons que 𝐴 prime et 𝐵 prime sont les compléments des événements 𝐴 et 𝐵, respectivement. Et nous savons aussi que la probabilité du complément de l’événement 𝐴 est égale à un moins la probabilité de l’événement 𝐴. En utilisant les informations fournies, nous pouvons donc calculer la probabilité de l’événement 𝐴 ainsi que la probabilité de l’événement 𝐵.

Tout d’abord, on a 0,66 est égal à un moins la probabilité de 𝐴. Si on réécrit cette équation, on a la probabilité de 𝐴 est égal à un moins 0,66. Cela est égal à 0,34. De la même manière, 0,79 est égal à un moins la probabilité de l’événement 𝐵. La probabilité de 𝐵 est donc égale à un moins 0,79, ce qui est égal à 0,21.

On nous dit aussi que 𝐴 intersection 𝐵 est égal à l’ensemble vide. Cela signifie qu’il n’y a aucun élément commun à l’événement 𝐴 et l’événement 𝐵. Et on peut donc dire que les deux évènements sont incompatibles. Et la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est donc égale à zéro. Lorsqu’on représente cela sur un diagramme de Venn, il n’y a pas de chevauchement comme indiqué. Nous pouvons ajouter le fait que la probabilité de l’événement 𝐴 est de 0,34 et la probabilité de l’événement 𝐵 est de 0,21. Nous pouvons compléter le diagramme de Venn en ajoutant la probabilité que ni l’événement 𝐴 ni l’événement 𝐵 ne se produisent. Cela est égal à 0,45.

On nous demande de calculer la probabilité de 𝐵 moins 𝐴. Et en utilisant la formule de la différence, nous savons que cela est égal à la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. Lorsqu’on substitue nos valeurs, on a 0,21 moins zéro, ce qui est juste égal à 0,21. Cela nous amène à une règle importante. Si deux événements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors la probabilité de 𝐵 moins 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐵. De même, la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴.

Avant de traiter un dernier exemple, rappelons la règle additive des probabilités. La règle additive des probabilités stipule que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. On peut représenter cela en utilisant les diagrammes de Venn comme indiqué. Nous allons maintenant examiner un dernier exemple.

Supposez que 𝐴 et 𝐵 sont des événements dans un espace d’échantillonnage constitué d’issues équiprobables. Si 𝐴 contient six issues, la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est de trois quarts, la probabilité de 𝐵 est de un demi et le nombre total d’issues est de 20, déterminez la probabilité qu’un seul des événements 𝐴 ou 𝐵 se produise.

Commençons par voir comment représenter la probabilité qu’un seul des événements 𝐴 et 𝐵 se produise sur un diagramme de Venn. La probabilité que seul l’événement 𝐴 se produise est ombragée en rose. Nous savons qu’on peut écrire cela en utilisant la formule de la différence. C’est la probabilité de 𝐴 moins 𝐵. Et cela est égal à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. La probabilité que seul l’événement 𝐵 se produise est ombragée en bleu. Et cela est indiqué par la probabilité de 𝐵 moins 𝐴. Ceci est égal à la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer la somme de ces deux valeurs.

Considérons maintenant les informations qui nous sont données dans cette question. On nous dit qu’il y a 20 issues au total et que l’événement 𝐴 en contient six. La probabilité de l’événement 𝐴 est donc égale à six sur 20. Lorsqu’on divise le numérateur et le dénominateur par deux, cela devient trois dixièmes. On nous dit aussi que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est de trois quarts et que la probabilité de 𝐵 est de un demi. Nous avons maintenant les probabilités des événements 𝐴 et 𝐵 mais pas la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵.

On peut calculer cela en utilisant la règle additive des probabilités, qui stipule que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. On peut réécrire cela comme indiqué. Lorsqu’on substitue nos valeurs, on a la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est égale à trois dixièmes plus un demi moins trois quarts. Nos trois fractions ont un dénominateur commun de 20. On peut donc les réécrire comme six sur 20 plus 10 sur 20 moins 15 sur 20. Cela est égal à un sur 20.

La probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est un vingtième. Nous pouvons maintenant utiliser cette valeur avec les probabilités de 𝐴 et 𝐵 pour calculer la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 et la probabilité de 𝐵 moins 𝐴. La probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à trois dixièmes moins un vingtième. Cela est égal à cinq vingtièmes. La probabilité de 𝐵 moins 𝐴 est égale à un demi moins un vingtième. Et cela est égal à neuf vingtièmes. La probabilité qu’un seul des événements 𝐴 ou 𝐵 se produise est donc égale à cinq vingtièmes plus neuf vingtièmes. Lorsqu’on additionne les numérateurs on a quatorze vingtièmes, et lorsqu’on simplifie on a sept dixièmes ou 0,7. La probabilité qu’un seul des événements 𝐴 ou 𝐵 se produise est de sept dixièmes.

Une autre façon de calculer cela serait d’énumérer le nombre d’issues sur notre diagramme de Venn. Puisque la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est de un vingtième et qu’il y a un total de 20 issues, il y a une issue dans l’intersection de 𝐴 et 𝐵. On nous a dit que 𝐴 contient six issues. Par conséquent, cinq de ces événements se produiront uniquement dans l’événement 𝐴. Puisque la probabilité de l’événement 𝐵 est de un demi, il y a 10 issues dans l’événement 𝐵. Et neuf de ces événements doivent se produire uniquement dans l’événement 𝐵. Puisque neuf plus un plus cinq égale 15, il doit y avoir cinq issues qui ne sont ni dans l’événement 𝐴 ni l’événement 𝐵. Cela confirme que 14 des issues ne sont que dans un des événements 𝐴 ou 𝐵. Et 14 sur 20 est égal à sept dixièmes.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons utilisé la règle de différence des probabilités avec d’autres formules de probabilité pour résoudre divers problèmes. La règle de différence des probabilités stipule que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. Pour deux événements 𝐴 et 𝐵, il est également vrai que la probabilité de 𝐵 moins 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵.

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