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Vidéo question :: Utiliser des angles inscrits dans un demi-cercle pour trouver l’aire d’un triangle Mathématiques • Troisième préparatoire

Sachant que 𝐴𝐶 = 8 cm et le rayon = 8 cm, calculez l’aire de △ 𝐴𝐵𝐶 arrondie à l’unité près.

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Transcription de la vidéo

Sachant que 𝐴𝐶 est égal à huit centimètres et que le rayon est égal à huit centimètres, calculez l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 arrondie à l’unité près.

Nous avons une figure qui montre un cercle avec un triangle inscrit à l’intérieur. Nous remarquons que 𝐴𝐵 passe par le centre du cercle et est le diamètre de ce dernier. Ainsi, avant de travailler sur l’aire du triangle, identifions les informations supplémentaires que nous pouvons trouver en fonction des informations qui nous ont été données. On nous dit que 𝐴𝐶 est égal à huit centimètres et que le rayon est égal à huit centimètres. Cela signifie que les segments 𝐵𝑀 et 𝑀𝐴 mesurent tous deux huit centimètres.

Maintenant, puisque le point 𝑀 est le centre du cercle et que 𝐶 se trouve sur la circonférence, nous voyons que 𝑀𝐶 forme également un rayon de notre cercle. Ainsi, 𝑀𝐶 mesure aussi huit centimètres. Cela est vraiment utile puisque nous savons que tous les angles d’un triangle équilatéral, c’est-à-dire un triangle où les trois côtés sont de longueur égale, sont de 60 degrés. Cependant, cela ne nous aide pas nécessairement à trouver l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶. Rappelez-vous, la formule que nous pouvons utiliser pour trouver l’aire d’un triangle est un demi fois la base fois la hauteur. Ainsi, si nous pouvions calculer la longueur de la base et de la hauteur de ce triangle 𝐴𝐵𝐶, nous pourrions trouver son aire.

En fait, nous pouvons assez rapidement déterminer quels côtés de notre triangle représentent la base et la hauteur. La base et la hauteur doivent être perpendiculaires l’une à l’autre. Nous nous intéressons donc aux côtés 𝐴𝐶 et 𝐵𝐶. Comment le savons-nous ? Bien, nous savons que l’angle sous-tendu par le diamètre est de 90 degrés. L’angle 𝐵𝐶𝐴 est en effet sous-tendu par le diamètre, donc 𝐵𝐶𝐴 mesure 90 degrés. Nous pouvons donc définir 𝐴𝐶 comme étant la base de notre triangle et nous savons qu’il est de longueur huit centimètres. Alors, cela signifie que 𝐵𝐶 est la hauteur de notre triangle. Quelle est donc la longueur de 𝐵𝐶 ?

Bien, maintenant que nous savons que nous avons un triangle rectangle et que nous connaissons quelques angles dans ce triangle, nous pouvons calculer la longueur de 𝐵𝐶 en utilisant la trigonométrie dans un triangle rectangle. Voici notre triangle 𝐴𝐵𝐶 avec l’angle droit en 𝐶. Nous avons calculé que la mesure de l’angle 𝐴 est de 60 degrés. Bien sûr, nous essayons de trouver la longueur de 𝐵𝐶, définissons-la donc comme étant égale à 𝑥 centimètres. Ce côté du triangle se trouve directement en face de l’angle de 60 degrés, tandis que le côté 𝐴𝐶 est adjacent à l’angle. Nous devons donc identifier le rapport trigonométrique qui relie le côté opposé avec l’adjacent, il s’agit de la tangente. Tangente 𝜃 vaut le côté opposé sur le côté adjacent.

Dans ce cas, tangente de 60 vaut 𝑥 divisé par huit. Bien sûr, tangente de 60 est l’un des rapports pour lesquels nous connaissons une valeur exacte. Cela donne la racine carrée de trois, nous obtenons donc que racine de trois est égale à 𝑥 divisé par huit. Si nous multiplions par huit, nous constatons que 𝑥 est égal à huit racine de trois. Nous connaissons maintenant la longueur de 𝐵𝐶, qui, nous l’avons dit, était la hauteur de notre triangle. Soit huit racine de trois centimètres. Ainsi, l’aire de notre triangle est la moitié de huit fois huit racine de trois. Sous forme exacte, cela nous donne 32 racine de trois centimètres carrés. Seulement, si nous entrons cela dans notre calculatrice et arrondissons à l’unité près, nous obtenons 55 centimètres carrés. Ainsi, l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 arrondie à l’unité près est de 55 centimètres carrés.

Maintenant, il convient de noter que nous n’avions pas besoin d’utiliser la trigonométrie du triangle rectangle. Au lieu de cela, si nous reconnaissions que 𝐴𝐵 est le diamètre et donc qu’il mesurait 16 centimètres de longueur et que nous savions déjà que le triangle 𝐴𝐶𝐵 était un triangle rectangle en 𝐶, nous aurions pu utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de 𝐵𝐶. Dans ce cas, nous aurions une fois de plus huit racine de trois, ce qui nous donnerait une aire finale de 55 centimètres carrés. Ces deux méthodes fonctionnent.

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