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Vidéo de question : Retrouver la formule pour la somme de 1 à 𝑛 de 𝑟 au carré Mathématiques

Complétez ce qui suit : ∑_ (𝑟 = 1) ^ (𝑛) 𝑟² = _.

07:43

Transcription de vidéo

Complétez ce qui suit. La somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré égale blanc.

Dans cette question, on nous demande de trouver une expression algébrique pour la somme partielle de la série de terme général 𝑟 au carré pour 𝑟 allant de un à 𝑛. Ce sera une expression algébrique en fonction de 𝑛. La réponse à cette question est en fait un résultat standard que nous devons mémoriser, mais ici, nous allons voir comment le retrouver. Ce que nous allons faire ne sera peut-être pas évident immédiatement, mais la raison pour laquelle nous avons choisi cette approche deviendra claire.

Nous allons considérer le développement du binôme 𝑟 moins un élevé au cube. En développant ceci à la main ou en appliquant la formule du binôme de Newton, nous trouvons que 𝑟 moins un au cube est égal à 𝑟 au cube moins trois 𝑟 au carré plus trois 𝑟 moins un. En soustrayant 𝑟 moins un au cube de chaque côté, nous avons zéro est égal à 𝑟 au cube moins 𝑟 moins un au cube moins trois 𝑟 au carré plus trois 𝑟 moins un. Puis, en ajoutant trois 𝑟 au carré, en soustrayant trois 𝑟 et en ajoutant un à chaque membre de l’équation, nous obtenons que trois 𝑟 au carré moins trois 𝑟 plus un est égal à 𝑟 au cube moins 𝑟 moins un au cube.

Maintenant, puisque ces expressions sont équivalentes, leurs sommes pour 𝑟 allant de un à 𝑛 seront également équivalentes. Nous allons les considérer séparément, en commençant par l’expression du membre de droite, soit la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au cube moins 𝑟 moins un au cube. En écrivant cette somme à la main pour 𝑟 allant de un à 𝑛, nous obtenons un au cube moins zéro au cube plus deux au cube moins un au cube plus trois au cube moins deux au cube jusqu’à 𝑛 au cube moins 𝑛 moins un au cube.

Nous remarquons que plusieurs termes de cette expression vont s’annuler. Nous avons un au cube puis plus tard, nous soustrayons un au cube. Nous ajoutons deux au cube et plus tard nous soustrayons deux au cube. En poursuivant ainsi, nous constatons que les seuls termes qui ne s’éliminent pas sont moins zéro au cube lorsque 𝑟 est égal à un et 𝑛 au cube lorsque 𝑟 est égal à 𝑛. Bien sûr, zéro au cube est égal à zéro. Ainsi, nous obtenons que la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au cube moins 𝑟 moins un le tout au cube est égale à 𝑛 au cube.

Considérons maintenant la somme de l’expression du membre de gauche de notre équation. Il s’agit de la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de trois 𝑟 au carré moins trois 𝑟 plus un. Pour nous aider à simplifier cette somme, nous pouvons rappeler la propriété de linéarité de la somme. Elle énonce qu’étant donné les constantes 𝜆 un et 𝜆 deux, la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝜆 un 𝑎 𝑟 plus 𝜆 deux 𝑏 𝑟 est égal à 𝜆 un multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑎 𝑟 plus 𝜆 deux multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑏 𝑟. En appliquant cette propriété, nous obtenons que cette somme est égale à trois multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré moins trois multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 plus la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de un.

À ce stade, nous pouvons rappeler deux autres résultats standards pour la somme des séries et que nous allons utiliser. Premièrement, la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un sur deux. Deuxièmement, la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 d’une constante 𝛼 est égale à 𝛼 multiplié par 𝑛. En appliquant ces deux résultats, nous obtenons que cette somme est égale à trois multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré moins trois 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un sur deux plus 𝑛. Ce dernier 𝑛 vient de la multiplication de la constante un par 𝑛.

Ainsi, nous avons trouvé une expression pour la somme partielle des séries du membre de droite et une expression pour la somme partielle des séries du membre de gauche et elles sont égales l’une à l’autre. Tout dans ces deux expressions est maintenant exprimé en fonction de 𝑛, à l’exception de trois multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré. Cependant, la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré est ce pour quoi nous voulons trouver une expression. Ainsi, en égalisant ces deux expressions et en réorganisant les termes, nous pourrons trouver ce que nous recherchons.

En égalisant les deux expressions, nous avons que trois multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré moins trois 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un sur deux plus 𝑛 est égal à 𝑛 au cube. Nous allons maintenant libérer un peu d’espace pour simplifier algébriquement ceci. Pour isoler le terme que nous cherchons, nous ajoutons trois 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un sur deux à chacun des deux membres de l’équation et nous soustrayons également 𝑛 nous donnant ainsi que trois multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré est égal à 𝑛 au cube plus trois 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un sur deux moins 𝑛.

Pour regrouper tous les termes du membre de gauche, nous les écrivons tous avec un dénominateur commun égal à deux, ce qui donne deux 𝑛 au cube plus trois 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un moins deux 𝑛 le tout divisé par deux. En développant les parenthèses au centre puis, en regroupant les termes similaires, le membre de droite devient deux 𝑛 au cube plus trois 𝑛 au carré plus 𝑛 le tout divisé par deux. Nous factorisons ensuite l’expression au numérateur par 𝑛 pour obtenir que trois multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré est égale à 𝑛 multiplié par deux 𝑛 au carré plus trois 𝑛 plus un le tout divisé par deux.

Dans l’étape suivante, nous allons factoriser l’expression du second degré à savoir deux 𝑛 au carré plus trois 𝑛 plus un. Ceci est égal à 𝑛 plus un multiplié par deux 𝑛 plus un. Ainsi, nous avons que trois multiplié par la somme pour 𝑟 allant de à un à 𝑛 de 𝑟 au carré est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un multiplié par deux 𝑛 plus un le tout divisé par deux. La dernière étape consiste à diviser les deux membres de l’équation par trois, nous donnant que la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un multiplié par deux 𝑛 plus un sur six.

Ainsi, nous avons trouvé une expression algébrique pour la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré ; elle est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un multiplié par deux 𝑛 plus un sur six. N’oubliez pas que ce résultat doit être mémorisé. Seulement, si nous devions partager la manière de le retrouver, nous rappelons qu’il découle du développement du binôme 𝑟 moins un élevé au cube, qui peut ensuite être réarrangé sous la forme 𝑟 au cube moins 𝑟 moins un au cube est égal à trois 𝑟 au carré moins trois 𝑟 plus un.

Nous considérons ensuite la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 des expressions de chaque membre de cette équation, en utilisant les résultats standards pour la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 et la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 d’une constante. Nous avons ainsi déterminé que la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un multiplié par deux 𝑛 plus un sur six.

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