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Vidéo de la leçon : La médiane d’une série statistique Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer et à interpréter la médiane d’une série statistique.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver et à interpréter la médiane d’une série statistique. La médiane est une sorte de moyenne. Et nous commencerons par la définir. La médiane est un exemple de mesure de tendance centrale. Le mode et la moyenne sont également des mesures de tendance centrale, bien que dans cette vidéo, nous n’aborderons que la médiane. La médiane est un nombre unique qui nous donne quelques informations sur les valeurs typiques dans une série statistique. Plus précisément, la médiane d’une série statistique représente la valeur du milieu. La moitié des données est supérieure à la médiane et l’autre moitié est inférieure à la médiane. Nous allons commencer par voir quelques exemples où nous calculons la médiane d’une petite série statistique.

Déterminez la médiane des valeurs six, huit, 16, six et 19.

La médiane est la valeur du milieu d’une série statistique. Pour calculer la médiane d’une petite série statistique, nous suivons deux étapes simples. Tout d’abord, nous classons les nombres en ordre croissant. Dans cette question, l’ordre sera six, six, huit, 16 et 19. Notre deuxième étape consiste à trouver le nombre ou la valeur médiane. Avec une petite série statistique, nous pouvons le faire en barrant les nombres des deux extrémités. Nous commençons par barrer les nombres 6 et 19, le plus petit et le plus grand. Puis nous barrons six et 16. Il nous reste un nombre au milieu. Ainsi, la médiane de la série de valeurs est huit.

Une autre façon de déterminer la médiane après avoir mis les nombres en ordre croissant est d’utiliser une petite règle ou une formule. La position de la médiane peut être calculée à l’aide de la formule 𝑛 plus un divisé par deux, où 𝑛 est le nombre de valeurs. Dans cette question, nous avons cinq nombres. Ainsi, la position médiane peut être calculée en ajoutant cinq à un et en divisant ensuite par deux. Cela équivaut à trois. Le nombre médian sera donc le troisième nombre de la liste. En comptant les nombres de gauche à droite par ordre croissant, on voit que le troisième nombre est huit. La médiane est donc huit.

Déterminez la médiane des valeurs 13, cinq, neuf, 10, deux et 15.

Nous pouvons calculer la médiane de n’importe quelle série statistique en suivant deux étapes. Tout d’abord, nous classons les nombres en ordre croissant. Dans cette question, nos six nombres en ordre croissant sont deux, cinq, neuf, 10 ; 13 et 15. La médiane est le nombre du milieu. Ainsi, nous devons trouver la valeur médiane dans notre liste. Une façon de le faire est de barrer un nombre de chaque extrémité de la liste. On barre le plus grand nombre, 15, et le plus petit, deux. Ensuite, on barre le deuxième plus grand nombre et le deuxième plus petit, 13 et cinq. Il nous reste maintenant deux valeurs de milieu, neuf et dix.

Pour trouver la médiane dans ce cas, nous déterminons le nombre qui se trouve à entre les valeurs médianes. On peut le calculer en additionnant les deux valeurs médianes et en les divisant par deux. Neuf plus 10 égale 19, et la division par deux nous donne 9.5. La médiane de la série des six valeurs est donc 9.5. La moitié de nos valeurs doit être supérieure à cette valeur, dans ce cas 10 ; 13 et 15. Et la moitié des valeurs doit être inférieure à 9.5, donc neuf, cinq et deux.

Une autre méthode aurait été de trouver la position médiane. Pour ce faire, nous utilisons la formule 𝑛 plus un divisé par deux, où 𝑛 est le nombre de valeurs. Dans cette question, nous avons six valeurs. Nous devons ajouter six à un et diviser par deux. Cela équivaut à 3.5. La médiane se situera donc entre la troisième et la quatrième valeur. Comme la troisième valeur est neuf et la quatrième valeur 10, une fois de plus, nous avons prouvé que la médiane est de 9.5.

Quelle est la médiane des nombres suivants : 11 ; 11, huit, huit, neuf et neuf ?

La médiane de toute série statistique est le nombre du milieu. Nous pouvons la calculer en deux étapes. Tout d’abord, nous rangeons les nombres dans l’ordre croissant. Dans cette question, nous avons deux huit, suivis de deux neuf, suivis de deux 11. Pour une petite série statistique comme celle-ci, nous pouvons ensuite trouver le nombre du milieu en barrant un nombre à chaque extrémité, tout d’abord le huit et le 11. Nous pouvons ensuite barrer le deuxième huit et le deuxième 11. Il nous reste deux nombres du milieu. Normalement, lorsqu’il y a deux valeurs médianes, nous devons calculer le nombre qui se trouve juste au-milieu entre les deux. Dans ce cas, comme les deux nombres du milieu sont les mêmes, cette valeur est la médiane. La médiane des six nombres 11 ; 11, huit, huit, neuf et neuf est neuf.

La question suivante que nous allons voir est plus compliquée car il manque un nombre, mais on nous donne la médiane.

Jennifer a les données suivantes : 10, huit, sept, neuf, et 𝑚. Si la médiane est de huit, quel nombre pourrait être 𝑚 ? S’agit-il de (A) sept, (B) 8.5, (C) neuf, (D) 9.5 ou (E) 10 ?

La médiane représente le milieu de la série de données. Cela signifie que la moitié des valeurs des données lui sont supérieures et l’autre moitié inférieures. Nous pouvons commencer par mettre les données en ordre et réfléchir à la manière dont nous pouvons calculer le nombre 𝑚. En écrivant les quatre valeurs que nous connaissons dans l’ordre, nous obtenons sept, huit, neuf et 10. On nous dit que la médiane est huit. Comme la médiane est le milieu de cinq valeurs, elle doit être le troisième nombre lorsqu’on les écrit dans du plus petit au plus grand. Il doit y avoir deux valeurs supérieures à huit et deux valeurs inférieures à huit. Pour que le nombre soit écrit à gauche de huit, il doit être inférieur ou égal à huit.

Si 𝑚 était un nombre entier inférieur à sept, ce serait le premier nombre de la liste. Les nombres entiers positifs ici pourraient être un, deux, trois, quatre, cinq et six. Cependant, aucune de ces options ne figure dans la question. Le nombre manquant pourrait également être sept, car les deux sept seraient écrits à gauche de huit, car ils sont inférieurs à huit. Sur nos cinq options, la bonne réponse est l’option (A), sept. 𝑚 ne pourrait pas être 8.5 ; 9 ; 9.5 ou 10, car tous ces nombres sont supérieurs à huit et se trouveraient à droite de huit.

Il est possible que le nombre manquant ait pu être huit. Si c’était le cas, le sept serait le premier nombre de notre liste. Nous aurions alors deux huit. Le troisième nombre serait toujours huit, qui est la médiane. Alors que la valeur de 𝑚 pourrait être n’importe quel nombre inférieur ou égal à huit, la bonne réponse dans ce cas est sept.

La dernière question que nous allons voir est plus compliquée, car elle implique une grande série statistique.

Déterminez la médiane de la série statistique représentée par ce graphique linéaire.

La droite numérique va ici de deux à 14. Et le nombre de croix représente combien nous avons de chaque valeur. Il y a quatre croix au-dessus du nombre quatre. Nous avons donc quatre quatre. Il y a six croix au-dessus du nombre cinq, donc nous avons six cinq. Nous avons deux six et deux sept. En continuant, nous avons six huit, trois neuf, deux 10, trois 11, trois 12, six 13 et trois 14. Nous savons que la médiane est la valeur du milieu lorsque les nombres sont en ordre croissant.

Une façon de répondre à cette question serait d’écrire tous les nombres du plus petit au plus grand. On écrirait le nombre quatre quatre fois. On écrirait le nombre cinq six fois. Il y aurait deux six et deux sept. La liste continuerait comme indiqué jusqu’à trois 14. Il y a ici un total de 40 valeurs. Nous pourrions trouver le nombre du milieu en barrant un nombre de chaque extrémité, d’abord le plus grand nombre et le plus petit nombre. Nous répétons cette opération en barrant un autre 4 et un autre 14. En barrant les 10 plus petits nombres suivants et les 10 plus grands nombres suivants, nous obtenons les nombres de sept à 11. Nous pourrions continuer ce processus jusqu’à ce qu’il nous reste deux valeurs de milieu, huit et neuf.

Lorsqu’il y a au total un nombre pair de valeurs, il y aura toujours deux valeurs de milieu. Nous pouvons alors trouver la médiane en trouvant le nombre qui se trouve à mi-chemin entre elles. Dans ce cas ici, nous le faisons en additionnant huit et neuf et en divisant ensuite la réponse par deux. Huit plus neuf égale 17, et la moitié de ce nombre est 8.5. Il est clair que 8.5 est à mi-chemin entre 8 et 9. Il s’agit donc de la médiane de la série statistique.

Une autre méthode consisterait à calculer d’abord la position médiane. La position médiane peut être calculée à l’aide de la formule 𝑛 plus un divisé par deux, où 𝑛 est le nombre total de valeurs. 40 plus un est 41. Et en divisant ce nombre par deux, on obtient 20.5. Comme 20.5 se situe entre les nombres entiers 20 et 21, alors nous savons que la médiane sera à mi-chemin entre la 20e et la 21e valeur.

Pour trouver les 20e et 21e valeurs, nous pouvons calculer la fréquence cumulée. Pour ce faire, nous additionnons le nombre de valeurs que nous avons. Quatre plus six égale 10. En ajoutant deux autres valeurs, on obtient 12. Cela signifie que 12 valeurs sont six ou moins. En ajoutant deux autres valeurs, on obtient 14, et en ajoutant six, on obtient 20. Cela signifie que 20 valeurs sont égales ou inférieures à 8. Comme il y a 40 valeurs au total, il doit donc y avoir 20 valeurs égales ou supérieures à 9. La 20e valeur est égale à huit, et la 21e valeur est égale à neuf. Encore une fois, en trouvant le point de milieu de ces deux valeurs, on obtient une médiane de 8.5. Cette méthode est utile lorsque nous disposons d’un grand nombre de valeurs car elle permet d’éviter d’écrire toute la série statistique.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo sur la médiane d’une série statistique. Afin de calculer la médiane d’une série statistique, notre première étape consiste à écrire les données dans l’ordre croissant, du plus petit au plus grand. Ensuite, il faut trouver la ou les valeurs du milieu. Si le nombre des valeurs des données est impair, alors il y aura exactement une valeur au milieu. En revanche, si le nombre des valeurs des données est pair, alors il y aura deux valeurs au milieu. Notre troisième et dernière étape consiste à déterminer la médiane.

Si le nombre des valeurs des données est impair, alors la médiane est le nombre du milieu. Si le nombre des valeurs des données est pair, alors la médiane se situe à mi-chemin entre les deux nombres du milieu. Enfin, si nous avons une grande série statistique, nous pouvons calculer la position médiane en utilisant la formule 𝑛 plus un divisé par deux, où 𝑛 est le nombre total des valeurs des données.

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