Vidéo question :: Utiliser les propriétés des racines cubiques de l'unité pour simplifier des expressions Mathématiques

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Evaluez moins cinq moins quatre sur 𝜔 moins quatre sur 𝜔 au carré multiplié par moins deux plus trois 𝜔 plus trois 𝜔 au carré, où 𝜔 est une racine cubique complexe de l'unité.

Pour répondre à cette question, il faut comprendre les propriétés des racines cubiques complexes de l'unité. Pour commencer, quand nous parlons de racine cubique de l'unité, nous rappelons qu'il s'agit d'un nombre 𝜔 tel que 𝜔 au cube est égal à un. En particulier, avoir une racine complexe exclut que 𝜔 soit un, ce qui est connu comme la racine cubique triviale de l’unité. En ce qui concerne les racines cubiques de l'unité, les racines complexes sont également des exemples de racines non triviales, qui satisfont certaines expressions utiles.

La première propriété que nous voulons utiliser est que 𝜔 puissance 𝑛 est égal à 𝜔 puissance 𝑎, pour tout entier 𝑛 équivalent à 𝑎 modulo trois. Ainsi, par exemple, sept est équivalent à un modulo trois. Nous le savons parce que sept et un ont une différence multiple de trois. Ainsi, nous peut dire que 𝜔 puissance sept est égal à 𝜔 puissance un.

La deuxième propriété que nous aimerions utiliser est que 𝜔 au carré plus 𝜔 plus un est égal à zéro. Il semble que cette propriété en particulier sera très utile lorsque nous considérerons les termes à l'intérieur des parenthèses de l'expression donnée puisqu'ils semblent être de forme similaire. Le principal défi que nous devons maintenant relever est de manipuler les termes de manière à ce qu'ils soient dans une forme où nous pouvons appliquer ces propriétés.

Considérons d'abord l'expression entre les parenthèses de droite. Celle-ci semble presque être trois fois notre deuxième propriété, puisque nous avons un terme de trois 𝜔 et un terme de trois 𝜔 au carré, mais le dernier terme n'est pas trois. Nous pouvons cependant contourner ce problème en ajoutant cinq à la gauche de l'expression et en soustrayant cinq à sa droite, ce qui permet de réécrire l'expression sans en changer la valeur. Nous pouvons ensuite factoriser par trois dans les trois premiers termes. Nous pouvons dire que le facteur à l'intérieur des parenthèses vaut zéro en utilisant notre deuxième propriété. Ainsi, nous obtenons juste moins cinq.

Ensuite, il faut simplifier l'expression entre les parenthèses à gauche. En effet, nous n'avons pas explicitement 𝜔 ou 𝜔 au carré. Ils apparaissent plutôt dans les dénominateurs des termes. Pour mettre cela sous la forme que nous voulons, nous pouvons utiliser la première propriété des racines cubiques non triviales. Pour rendre cela plus facile à voir, nous pouvons réécrire les deuxième et troisième termes en utilisant les propriétés des puissances. Autrement dit, nous avons utilisé des puissances négatives pour exprimer que les termes 𝜔 impliquent des inverses.

Maintenant, considérons les puissances de 𝜔 ici. Tout d'abord, nous avons moins un, dont nous remarquons qu'il est égal à deux moins trois, ce qui nous montre que le moins un est équivalent à deux modulo trois. Puis, nous avons que le moins deux est égal à un moins trois. Ainsi, moins deux est équivalent à un modulo trois. Nous pouvons donc utiliser la première propriété pour réécrire 𝜔 puissance moins un comme 𝜔 au carré et 𝜔 puissance moins deux comme 𝜔 puissance un.

Nous pouvons maintenant utiliser la deuxième propriété pour simplifier les choses. De la même manière que précédemment, nous pouvons ajouter un à gauche et soustraire un à droite de l'expression. Nous pouvons ensuite factoriser par le facteur commun moins quatre des trois premiers termes. Nous pouvons alors voir que l'expression à l'intérieur des parenthèses est égale à zéro grâce à la deuxième propriété. Nous avons donc simplement moins un.

Après avoir fait le plus difficile, il nous reste plus qu'à combiner ces expressions entre elles. Nous avons que le produit de ces deux expressions entre parenthèses est le produit de moins cinq et moins un, ce qui nous donne notre réponse finale, cinq.