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Vidéo de question : Déterminer l’inverse d’une matrice diagonale Mathématiques

Déterminez la matrice inverse de [−5, 0, 0 et 0, −5, 0 et 0, 0, −5].

06:20

Transcription de vidéo

Déterminez la matrice inverse de moins cinq, zéro, zéro, zéro, moins cinq, zéro, zéro, zéro, moins cinq.

Eh bien, l’inverse d’une matrice est en effet la matrice, donc la matrice inverse qui, multipliée par la matrice d’origine, nous donnera 𝐼, où 𝐼 est la matrice identité. Et la matrice identité est une matrice où tous les éléments sont nuls à l’exception de la diagonale en haut à gauche et en bas à droite, où les éléments sont un.

Maintenant, comme nous examinons ici une matrice qui est en fait une matrice diagonale, c’est-à-dire que les seuls éléments non nuls sont sur la diagonale, la démarche relative à la recherche de notre inverse va être beaucoup plus simple. Mais regardons les étapes quoi qu’il en soit. Eh bien, les quatre étapes que nous avons lors de la recherche de l’inverse d’une matrice sont la première étape, déterminez la matrice des mineurs. La deuxième étape consiste à déterminer la matrice de cofacteurs, puis la troisième étape, la matrice adjointe. Et la quatrième étape, enfin, nous multiplions par un sur le déterminant de la matrice d’origine.

Donc, si nous appelons notre matrice initiale 𝐴 dans la question, alors regardons la matrice des mineurs. Maintenant, nous avons notre matrice des mineurs. Rappelons-nous comment nous avons trouvé chacun des mineurs. Eh bien, si nous regardons notre premier élément, nous pouvons voir que le mineur est créé ici en supprimant la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve le premier élément. Puis, c’est la sous-matrice deux par deux qui reste, qui est moins cinq, zéro, zéro, moins cinq. Ensuite, nous trouvons le déterminant de ce qui précède.

D’accord, nous avons notre matrice des mineurs. Mais ce que nous voulons faire maintenant, c’est de calculer les valeurs. Cependant, comme je l’ai dit plus tôt, nous avons une matrice diagonale. Ainsi, cette prochaine étape est beaucoup plus facile. Donc, si nous nous rappelons rapidement comment trouver le déterminant d’une matrice deux par deux, nous avons cette matrice ici 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Le déterminant est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Donc, on effectue le produit en croix, puis on soustrait. Eh bien, parce que nous examinons une matrice diagonale, nous pouvons voir que tous les mineurs que nous avons ont des zéros dans leurs deux diagonales, à l’exception des trois en haut à gauche et en bas à droite. Par conséquent, ils vont être égaux à zéro parce que zéro multiplié par quoi que ce soit donne un résultat nul.

Par ailleurs, tous les mineurs diagonaux sont identiques. Donc, nous avons juste besoin d’effectuer nos calculs avec le nombre un. Bon, ce que nous avons est moins cinq multiplié par moins cinq, ce qui vaut 25, puis moins zéro multiplié par zéro, ce qui est juste zéro. Par conséquent, ils sont tous 25. Très génial, nous avons là notre matrice des mineurs.

Alors maintenant, l’étape suivante est agréable et facile car tout ce que nous devons faire pour la matrice de cofacteurs est d’ajouter les signes que nous obtenons de la règle des signes pour notre matrice de cofacteurs. Et ils sont positifs, négatifs, positifs, négatifs, positifs, négatifs, positifs, négatifs, positifs. En effet, si nous regardons notre matrice des mineurs, cela ne l’affectera pas du tout car les seules valeurs sont nos diagonales et elles sont toutes positives quoi qu’il en soit.

Et parce qu’elles sont toutes positives de toute façon dans notre règle de signes, cela signifie que leurs signes ne changeront pas. Ainsi, notre matrice de cofacteurs sera exactement la même que notre matrice des mineurs. D’accord, super. Donc, la deuxième étape est complète.

Maintenant, la troisième étape, encore une fois, va être très simple. Cela est dû au type spécial de matrice que nous avons, qui est une matrice diagonale, comme déjà mentionné. Eh bien, pour trouver la matrice adjointe à l’étape trois, il suffit d’échanger les éléments sur notre diagonale, comme indiqué par les flèches. Cependant, ce sont tous les mêmes ; ce sont tous zéro. Donc, encore une fois, la matrice adjointe va être la même que notre matrice de cofacteurs. Alors maintenant, tout ce que nous devons faire est de passer à l’étape quatre, qui est multiplié par un sur notre déterminant de 𝐴.

Eh bien, il convient de noter à ce stade que chaque fois que nous avons ce type de matrice, nous pouvons toujours ignorer les étapes deux et trois car elles ne changeront pas la matrice que nous examinons.

Donc, ce que nous devons faire à ce stade, c’est nous rappeler comment nous trouvons le déterminant d’une matrice trois par trois. Donc, si nous avons la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, cela est égal à 𝑎 multiplié par le mineur ou le déterminant de la sous-matrice deux par deux 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 puis moins 𝑏 multiplié par 𝑑, 𝑓, 𝑔, 𝑖 plus 𝑐 multiplié par le déterminant de la sous-matrice deux par deux 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ.

En fait, ce serait généralement un long processus. Mais dans cette question, ce ne sera pas du tout le cas, parce que nous avons déjà trouvé nos mineurs. Et puis, tout ce que nous devons faire est de les multiplier par chacun des éléments de la première ligne de notre matrice d’origine. Mais ce qui rend cela encore plus facile, vu la particularité du type de matrice que nous examinons, c’est le fait que les deuxième et troisième éléments de notre première ligne sont tous les deux nuls dans notre matrice des mineurs et dans notre matrice d’origine. Nous pouvons donc les ignorer.

Donc, notre déterminant va donc être égal à moins cinq multiplié par 25, ce qui est égal à moins 125. Par conséquent, l’inverse de la matrice va être moins un sur 125 parce que c’est un sur le déterminant de notre matrice multiplié par la matrice 25, zéro, zéro, zéro, 25, zéro, zéro, zéro, 25, qui pourrait également être écrit comme moins un cinquième, zéro, zéro, zéro, moins un cinquième, zéro, zéro, zéro, moins un cinquième.

Et ce que nous pouvons remarquer à ce propos, c’est que, en fait, tout ce que nous avions à faire pour créer cette matrice était de regarder le moins cinq et d’y penser : « Bon, qu’allons-nous devoir multiplier par moins cinq pour obtenir un ? » Eh bien, moins cinq multiplié par moins un sur cinq nous donne un. Donc, cela nous aurait donné notre inverse ou notre matrice inverse. Donc, cela aurait pu être un raccourci vers le même résultat.

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