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Vidéo de la leçon : Angles opposés par le sommet Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les angles opposés par le sommet et à résoudre des problèmes les impliquant.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les angles opposés par le sommet et à résoudre leurs problèmes. Nous verrons d’abord une courte démonstration du théorème des angles opposés par le sommet, puis nous verrons quelques exemples simples et d’autres exemples qui impliquent l’utilisation de l’algèbre.

Lorsque deux droites se rencontrent en un point dans un plan, nous disons qu’elles se croisent ; ce sont des droites sécantes. Maintenant, si ce n’est pas le cas, si deux droites ne se croisent pas, nous disons qu’elles sont parallèles ; elles ne se rencontreront jamais. Par exemple, sur cette figure, nous voyons que les droites 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 se croisent au point 𝑚.

Alors, que savons-nous des angles ici ?

Les deux angles 𝐴𝑚𝐷 et 𝐵𝑚𝐶 sont appelés comment. Ici, nous cherchons à introduire une certaine terminologie. Nous disons qu’étant donné une paire de droites qui se croisent, les angles qui sont opposés l’un à l’autre forment une paire d’angles opposés par le sommet. Cela signifie que l’angle 𝐴𝑚𝐷, qui est celui-ci, et l’angle 𝐵𝑚𝐶, qui est celui-ci, sont opposés l’un à l’autre. De même, l’angle 𝐴𝑚𝐶, qui est celui-ci, et 𝐵𝑚𝐷, qui est celui-ci, sont également opposés l’un à l’autre. Donc, l’expressions qui complète la phrase ici est « opposés par le sommet ».

Alors, que savons-nous des angles opposés par le sommet ?

Si deux angles sont opposés par le sommet, ont-ils la même mesure ? Considérons deux droites 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 qui se croisent au point 𝑚. Nous introduisons maintenant un axiome. C’est juste un énoncé qui sert de preuve, que nous considérons comme vrai. L’axiome est que la somme des angles sur une droite est égale à 180 degrés.

Prenons donc la droite 𝐴𝐵. Nous pouvons dire que l’angle 𝐴𝑚𝐷 et l’angle 𝐵𝑚𝐷 ont une somme de 180 degrés. De même, nous pouvons dire que l’angle 𝐴𝑚𝐶 et l’angle 𝐵𝑚𝐶 ont également une somme de 180 degrés. Et, en fait, si nous considérons la droite 𝐶𝐷, nous pouvons former deux autres affirmations. C’est-à-dire que l’angle 𝐴𝑚𝐶 et l’angle 𝐴𝑚𝐷 ont une somme de 180, tout comme les angles 𝐵𝑚𝐶 et 𝐵𝑚𝐷.

Nous allons donc définir l’un de nos angles. Définissons 𝐴𝑚𝐷 pour qu’il soit égal à 𝑥 degrés. Et donc, nous pouvons dire dans ces deux affirmations que 𝑥 plus 𝐵𝑚𝐷 est égal à 180 degrés, mais aussi que 𝐴𝑚𝐶 plus 𝑥 est égal à 180. Nous réarrangeons nos deux équations en soustrayant 𝑥 des deux côtés. Notre première équation devient 𝐵𝑚𝐷 égale 180 moins 𝑥. Et l’autre équation devient 𝐴𝑚𝐶 égale 180 moins 𝑥.

Maintenant, remarquez que nous avons démontré que 𝐵𝑚𝐷 est égal à 180 moins 𝑥 et que 𝐴𝑚𝐶 est égal à 180 moins 𝑥. Ces trois points signifient « donc », et nous pouvons dire que, donc, 𝐵𝑚𝐷 doit être égal à 𝐴𝑚𝐶. Sur notre figure, c’est celui-ci et celui-là. Maintenant, en fait, puisque c’est le cas et que les angles sur une droite ont une somme de 180 degrés, nous pouvons montrer que 𝐴𝑚𝐷 et 𝐵𝑚𝐶 sont aussi égaux. Et donc, nous disons que les angles opposés par le sommet sont égaux. Et donc, la réponse à cette question est oui.

Voyons donc comment cela peut nous aider à résoudre des problèmes.

Déterminez la valeur de 𝑥 sur la figure donnée.

Nous disons que ces deux angles ici sont opposés l’un à l’autre ; ce sont des angles opposés par le sommet. Et nous pouvons affirmer ce qui suit. Que les angles opposés par le sommet sont égaux. Et donc, cela doit signifier que pour cette paire d’angles, la paire d’angles sur notre figure, les angles doivent être égaux l’un à l’autre. En d’autres termes, 𝑥 doit être égal à 62. Et voilà. C’est la solution à cette question. 𝑥 égale 62.

Dans notre exemple suivant, nous allons augmenter un peu la complexité en introduisant plus de deux angles.

Trouvez la valeur de 𝑥.

Il est parfois difficile de repérer ce qu’il faut faire pour déterminer les angles manquants. Alors, au lieu de cela, nous considérons simplement ce que nous savons et nous partons de là. En fait, il y a d’habitude plus d’une méthode, comme dans cette question. Considérons donc les deux. Commençons par observer deux droites. Nous avons la droite 𝐴𝐶 et la droite 𝐵𝐷. Elles se croisent en un point ; ce sont des droites sécantes. Et donc, nous allons trouver des paires d’angles opposés par le sommet.

Maintenant, si nous regardons attentivement, nous voyons que cet angle ici est opposé à cet angle ici. Maintenant, nous savons que les angles opposés par le sommet sont égaux. Et donc, la somme des deux angles entre 𝐴 et 𝐷, c’est-à-dire 𝑥 et 74, doit être égale à 144. Nous pouvons former une équation, c’est-à-dire 144 égale 𝑥 plus 74. Nous résolvons cette équation pour 𝑥 en soustrayant 74 des deux côtés. De sorte que nous obtenons 𝑥 égal à 144 moins 74. Eh bien, 144 moins 74 est égal à 70. Donc, nous voyons que 𝑥 est égal à 70. Et cet angle est de 70 degrés.

Mais qu’aurions-nous pu faire d’autre ? Eh bien, nous savons que la somme des angles sur une droite est égale à 180 degrés. Cela signifie que cet angle et cet angle doivent avoir une somme de 180. 180 moins 144 égale 36. Donc, nous avons un angle de 36 degrés ici. Ensuite, nous utilisons le même fait, c’est-à-dire que les angles sur une droite ont une somme de 180. Et nous savons que cet angle, cet angle, et cet angle doivent faire 180. Nous pouvons donc former une équation. Nous pouvons dire que 𝑥 plus 74 plus 36 égale 180. 74 plus 36 égale 110. Donc, cela devient 𝑥 plus 110 égale 180. Et nous résolvons 𝑥 en soustrayant 110 des deux côtés. Ce qui nous donne, encore une fois, 𝑥 égale 70.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment des équations algébriques en deux étapes peuvent nous aider à résoudre ces problèmes.

Sur la figure suivante, trouvez la valeur de 𝑥.

Sur la figure, nous avons deux droites qui se croisent. Ces deux angles, disons ici, sont des angles opposés par le sommet. Et donc, nous rappelons ce que nous savons des angles opposés par le sommet. Nous savons qu’ils sont égaux. Nous disons que les angles opposés par le sommet sont égaux. Et donc, cela signifie que nos deux angles, deux 𝑥 plus cinq et 67, doivent être égaux. Nous écrivons ceci comme une équation : deux 𝑥 plus cinq égale 67.

Et nous pouvons résoudre cette équation pour trouver la valeur de 𝑥 en effectuant une série d’opérations inverses. Nous commençons par soustraire cinq des deux côtés. Lorsque nous soustrayons cinq du côté gauche, il nous reste deux 𝑥. Et 67 moins cinq donne 62. Donc, notre équation est maintenant deux 𝑥 égale 62. Actuellement, le 𝑥 est multiplié par deux. Et l’opération inverse consiste à diviser par deux. Deux 𝑥 divisé par deux est 𝑥. Et 62 divisé par deux est 31. Donc, nous avons calculé 𝑥 égale 31.

Maintenant, puisque nous avons travaillé avec l’algèbre, il est judicieux de vérifier notre réponse en la remplaçant dans l’expression initiale. Deux 𝑥 signifie deux fois 𝑥. Et nous avons trouvé que 𝑥 était égal à 31. Donc, nous multiplions 31 par deux et nous ajoutons cinq. Cela fait 62 plus cinq, soit 67. Nous savons que cela doit être égal à 67 puisque les angles opposés par le sommet sont égaux. Cela nous indique donc que nous avons fait nos calculs correctement. 𝑥 est égal à 31.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment résoudre de tels problèmes lorsque nous avons deux expressions algébriques.

Voici eux droites sécantes. Déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Comme le dit la question, nous avons une paire de droites sécantes. Et lorsque c’est le cas, nous devons rechercher des angles opposés par le sommet. Nous en avons deux paires. Ces deux angles sont opposés l’un par rapport à l’autre. Et l’angle nommé 𝑦 est opposé par le sommet à celui-ci. Mais en fait, nous allons commencer par penser à 𝑥.

Ensuite, nous énonçons le fait suivant. Les angles opposés par le sommet sont égaux. Nous avons dit que l’angle neuf 𝑥 moins 30 degrés est opposé par le sommet à l’angle sept 𝑥 moins quatre degrés. Cela signifie donc qu’on peut dire que neuf 𝑥 moins 30 est égal à sept 𝑥 moins quatre. Nous devons maintenant résoudre cette équation pour 𝑥.

Maintenant, puisque nous avons des 𝑥s aux deux côtés de notre équation, notre première tâche est de nous débarrasser du plus petit nombre de 𝑥. Sept 𝑥 est inférieur à neuf 𝑥, nous allons donc soustraire sept 𝑥 des deux côtés de notre équation. Neuf 𝑥 moins sept 𝑥 donne deux 𝑥. Ainsi, le côté gauche de notre équation est deux 𝑥 moins 30. Au côté droit, nous avons simplement moins quatre.

Ensuite, nous voulons nous débarrasser du moins 30. Donc, nous faisons l’opération inverse ; nous ajoutons 30 aux deux côtés. Sur la gauche, cela nous laisse deux 𝑥. Et moins quatre plus 30 est 26. Donc, notre équation est la suivante : deux 𝑥 égale 26. En se rappelant, bien sûr, que deux 𝑥 signifie deux fois 𝑥, nous savons maintenant qu’il faut diviser les deux côtés de l’équation par deux. Deux 𝑥 divisé par deux est 𝑥. Et 26 divisé par deux est 13.

Donc, nous avons calculé 𝑥 est égal à 13. Mais nous n’avons pas tout à fait terminé. La question nous demande également de trouver la valeur de 𝑦. Alors, que faisons-nous ensuite ? Il y a deux ou trois choses que nous pourrions faire. Un des faits que nous pourrions utiliser est que les angles sur une droite ont une somme de 180 degrés. Nous pourrions également utiliser le fait que les angles en un point ont une somme de 360 degrés. Mais, ici, cela demande un peu plus de travail. Nous allons donc calculer la valeur de sept 𝑥 moins quatre ou de neuf 𝑥 moins 30.

N’oubliez pas que cela nous donnera la même valeur. Calculons sept 𝑥 moins quatre lorsque 𝑥 est égal à 13. C’est sept fois 13 moins quatre, ce qui donne 87. Donc, cet angle ici est de 87 degrés. Nous pouvons écrire et résoudre une équation pour 𝑦. Nous savons que les angles sur une droite ont une somme de 180 degrés, donc nous disons que 87 plus 𝑦 égale 180. Cette fois, nous résolvons en soustrayant 87 des deux côtés. Et nous voyons que 𝑦 est égal à 93. 𝑥 égale 13, et 𝑦 égale 93.

En fait, avec les problèmes d’angles, il y a souvent plus d’une façon de résoudre le même problème. Dans ce cas, nous aurions pu commencer par citer le fait que la somme des angles sur une droite est égale à 180 degrés. Nous formons une équation en additionnant ces deux angles. Et nous savons que cela équivaut à 180. Donc, nous obtenons neuf 𝑥 moins 30 plus 𝑦 égale 180. Maintenant, combinons les parties numériques en ajoutant 30 aux deux côtés. Et quand nous le faisons, nous trouvons que neuf 𝑥 plus 𝑦 égale 210.

Ensuite, nous utilisons la même idée, en additionnant cette fois ces deux angles. Nous obtenons sept 𝑥 moins quatre plus 𝑦 égale 180. Pour combiner les parties numériques, nous ajoutons quatre aux deux côtés. Et nous trouvons que sept 𝑥 plus 𝑦 égale 184. Remarquez, nous avons maintenant une paire d’équations simultanées. Et nous pouvons voir que le coefficient, le nombre de 𝑦s que nous avons dans chaque équation, est le même. Comme les signes du coefficient de 𝑦 sont aussi identiques, alors nous soustrayons les deux équations.

Neuf 𝑥 moins sept 𝑥 donne deux 𝑥. 𝑦 moins 𝑦 égale zéro. Et 210 moins 184 est 26. Pour résoudre 𝑥, nous divisons par deux. Et nous trouvons encore une fois que 𝑥 est égal à 13 degrés. Nous trouvons la valeur de 𝑦 en substituant par 𝑥 dans l’une ou l’autre de nos équations initiales. Si nous substituons dans la deuxième, nous obtenons sept fois 13 plus 𝑦 égal 184. Sept fois 13 égale 91. Et ensuite, nous résolvons 𝑦 en soustrayant 91 des deux côtés. Et une fois de plus, nous trouvons que 𝑦 est égal à 93.

Dans cette vidéo, nous avons vu que lorsque deux droites se rencontrent en un point dans un plan, elles se croisent ; nous les appelons des droites sécantes, comme c’est montré. Nous disons aussi que dans une paire de droites sécantes, les angles qui sont opposés l’un à l’autre forment une paire d’angles opposés par le sommet. Nous avons vu, bien sûr, que les angles opposés par le sommet sont égaux. Donc, sur notre figure, ces deux angles sont de mesure égale. Et nous avons vu que cela peut nous aider à résoudre des problèmes impliquant des angles opposés par le sommet.

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