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Vidéo de question : Détermination de la fonction de variation d’une fonction exponentielle Mathématiques

Déterminez la fonction taux d’accroissement de 𝑓 (𝑥) = 𝑒^(3𝑥) en 𝑥 = 2.

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Transcription de vidéo

Déterminer la fonction taux d’accroissement de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance trois 𝑥 à 𝑥 est égal à deux.

Dans cette question, on nous demande de déterminer la fonction taux d’accroissement de la fonction donnée 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance trois 𝑥 pour une valeur de 𝑥 égale à deux. Pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par la fonction taux d’accroissement d’une fonction donnée pour une valeur donnée. Une fonction taux d’accroissement pour une fonction avec des antécédents 𝑥 mesure à quel point la fonction varie lorsque ses antécédents 𝑥 passent de 𝑎 à 𝑎 plus ℎ. En général, la fonction taux d’accroissement pour une fonction 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale à 𝑎 est 𝑓 calculé en 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 calculé en 𝑎.

Dans notre cas, notre fonction 𝑓 est donnée comme 𝑒 à la puissance trois 𝑥 et notre valeur de 𝑎 est égale à deux. Ainsi, pour déterminer la fonction taux d’accroissement notée 𝑉 de ℎ, nous devons utiliser 𝑓 de 𝑥 est 𝑒 à la puissance trois 𝑥 et 𝑥 est égal à deux dans cette équation. Commençons par utiliser 𝑎 est égal à deux, nous obtenons que la fonction est égale à 𝑓 calculé pour deux plus ℎ moins 𝑓 calculé pour deux. Rappelez-vous, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est 𝑒 à la puissance trois 𝑥. Nous devons donc calculer cela pour deux plus ℎ. Puis, nous devons soustraire cela calculé pour deux. Cela nous donne alors 𝑒 à la puissance trois fois deux plus ℎ moins 𝑒 à la puissance trois fois deux.

Nous pourrions nous arrêter ici. Ceci une expression valide pour notre fonction. Cependant, nous pouvons simplifier cela en calculant les expressions dans les exposants. Au premier terme, nous pouvons distribuer trois dans les parenthèses. Au deuxième terme, nous savons que trois fois deux est égal à six. Puisque trois multiplié par deux plus ℎ donne six plus trois ℎ, nous obtenons 𝑒 à la puissance six plus trois ℎ moins 𝑒 à la puissance six.

Encore une fois, nous pourrions nous arrêter ici. Cependant, nous pouvons simplifier davantage en notant que ces deux termes partagent un facteur 𝑒 à la puissance six. En effet, 𝑒 à la puissance 𝑛 multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑚 est égal à 𝑒 à la puissance 𝑛 plus 𝑚. Nous pouvons donc réécrire le premier terme comme 𝑒 à la puissance six multiplié par 𝑒 à la puissance trois ℎ. Nous pouvons alors sortir le facteur commun de 𝑒 à la puissance six aux premier et deuxième termes. Cela nous donne 𝑒 à la puissance six multiplié par 𝑒 à la puissance trois ℎ moins un. Nous ne pouvons pas simplifier davantage. Cela nous donne alors notre réponse finale.

La fonction de variation 𝑉 de ℎ de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑒 à la puissance trois 𝑥 pour 𝑥 est égale à deux est 𝑉 de ℎ est égale à 𝑒 à la puissance six multiplié par 𝑒 à la puissance trois ℎ moins un.

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