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Vidéo de question : Déterminer l’ensemble image d’une fonction définie par morceaux à partir de sa courbe représentative Mathématiques

Déterminez l’ensemble image de la fonction représentée par la courbe suivante.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble image de la fonction représentée par la courbe suivante.

Dans cette question, on nous donne la courbe d’une fonction et nous devons l’utiliser pour déterminer l’ensemble image de cette fonction. Pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par l’ensemble image d’une fonction. Il s’agit de l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles de la fonction étant donné son ensemble de définition. Et nous devons déterminer cet ensemble en utilisant la courbe de cette fonction.

Rappelons donc comment les valeurs de d’entrée et de sortie d’une fonction sont liées à sa courbe. Nous pouvons faire cela en nous souvenant que lorsque nous traçons la courbe d’une fonction, l’abscisse d’un point sur la courbe représente la valeur d’entrée et l’ordonnée correspondante représente la valeur de sortie de la fonction pour cette valeur d’entrée. En particulier, cela signifie que l’ordonnée de tout point de la courbe est une valeur de sortie de la fonction.

Par conséquent, puisque l’ensemble image de la fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles de la fonction, c’est aussi l’ensemble de toutes les ordonnées des points qui se trouvent sur la courbe. Cela signifie que nous pouvons déterminer l’ensemble image de cette fonction en trouvant simplement l’ensemble de toutes les ordonnées des points qui se trouvent sur la courbe.

Nous pouvons faire cela à partir de la courbe. Commençons par trouver l’ordonnée du plus bas point sur la courbe. À partir de la courbe, nous pourrions penser qu’il s’agit de moins trois. Cependant, il s’agit d’un point creux. Rappelons-nous, cela signifie que la fonction n’est pas définie en ce point. Ainsi, la fonction ne retourne jamais moins trois.

Cependant, nous pouvons voir sur la courbe de cette fonction que nous pouvons nous nous approcher de moins trois. Par conséquent, la fonction peut retourner n’importe quelle valeur proche de moins trois par le haut mais non égale à moins trois. Et comme il s’agit de la valeur de sortie la plus basse de la fonction, nous pouvons également dire que la fonction ne retourne aucune valeur inférieure ou égale à moins trois.

Considérons maintenant les valeurs de sortie strictement supérieures à moins trois. Et pour ce faire, nous devons nous rappeler que lorsqu’il y a des flèches sur notre courbe, cela signifie qu’elle continue indéfiniment de cette manière. Et puisqu’il y a des flèches des deux côtés de la courbe, nous savons que ces deux droites continuent indéfiniment. Nous pouvons alors utiliser cela pour constater que toutes les valeurs strictement supérieures à moins trois sont des valeurs de sortie possibles de la fonction. Nous pouvons voir cela en notant que toute valeur strictement supérieure à moins trois est une ordonnée d’un point qui se trouve sur la courbe. Par exemple, un est l’ordonnée d’un point situé sur la courbe.

Le seul point qui nous inquiète est deux parce qu’il y a un point creux sur notre courbe en deux. Cependant, nous pouvons également voir qu’il existe un autre point sur la courbe ayant pour ordonnée deux. Donc deux est l’ordonnée d’un point situé sur la courbe, ce qui signifie également qu’il s’agit d’une valeur de sortie de la fonction.

Enfin, comme nos droites continuent indéfiniment dans les deux sens, nous pouvons également voir que celles-ci continuent jusqu’à ∞. Ce processus est donc valable pour toutes les valeurs strictement supérieures à moins trois. Par conséquent, les valeurs de sortie de cette fonction sont toutes les valeurs strictement supérieures à moins trois. Nous devons écrire ceci comme un ensemble, il s’agit donc de l’intervalle ouvert de moins trois à ∞.

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