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Lequel des vecteurs 𝐏, 𝐐, 𝐑, 𝐒 et 𝐓 sur le graphique est égal à 𝐀 plus 𝐁 plus 𝐂?
Lorsque nous représentons un vecteur avec une flèche, nous appelons l’extrémité pointue la pointe et l’autre extrémité l’origine. Pour additionner un deuxième vecteur à ce premier vecteur, nous commençons par dessiner le deuxième vecteur avec son origine à la pointe du premier vecteur. Si nous dessinons maintenant un troisième vecteur avec son origine à l’origine du premier vecteur et sa pointe à la pointe du deuxième vecteur, ce troisième vecteur est exactement la somme des deux vecteurs que nous avons initialement dessinés.
Maintenant, c’est très bien, mais la question nous demande de trouver la somme de trois vecteurs, pas seulement de deux. Cependant, l’addition de vecteurs est associative. Donc, additionner trois vecteurs ensemble revient à additionner deux vecteurs, puis à additionner le troisième vecteur à cette somme. Ainsi, pour additionner un troisième vecteur à 𝐔 et 𝐕, nous dessinons simplement ce troisième vecteur avec son origine à la pointe de 𝐔 plus 𝐕. Et puis nous relierons l’origine de 𝐔 plus 𝐕 à la pointe de ce troisième vecteur. Nous avons dessiné notre troisième vecteur 𝐖. Et maintenant, nous dessinons notre dernier vecteur représentant la somme totale avec son origine à la pointe de 𝐔 plus 𝐕 et sa pointe à la pointe de 𝐖.
Maintenant que nous avons la somme finale, lorsque nous effaçons le vecteur intermédiaire 𝐔 plus 𝐕, nous voyons qu’en connectant les trois vecteurs de l’origine à la pointe, un quatrième vecteur avec son origine à l’origine restante et sa pointe à la pointe restante est exactement égale à la somme de ces trois vecteurs. En fait, cela fonctionne pour n’importe quel nombre de vecteurs. Et pour un ensemble particulier de vecteurs, peu importe l’ordre dans lequel nous les dessinons. Nous obtiendrons toujours la même réponse car l’addition de vecteurs est à la fois commutative et associative.
En revenant au graphique, nous voyons que pour répondre à cette question, nous devons connecter 𝐀, 𝐁 et 𝐂 de l’origine à la pointe, puis trouver lequel des autres vecteurs relie l’origine restante à la pointe restante. Puisque l’ordre n’a pas d’importance, nous pouvons aussi bien relier l’origine de 𝐁 à la pointe de 𝐀, puis l’origine de 𝐂 à la pointe de 𝐁. 𝐁 s’étend d’une unité vers la gauche et de cinq unités vers le haut. Ainsi, à partir de la pointe de 𝐀, nous dessinons une flèche qui s’étend d’une unité vers la gauche et de cinq unités vers le haut.
Maintenant, nous devons inclure 𝐂. 𝐂 s’étend de quatre unités vers la gauche et de quatre unités vers le bas. Lorsque nous connectons cette flèche aux flèches que nous avons déjà dessinées, nous voyons que la pointe coïncide avec la pointe du vecteur 𝐓. Maintenant, cette pointe, la pointe de la flèche que nous avons appelée 𝐂, est notre pointe restante. Et notre origine restante est l’origine du vecteur 𝐀 situé au départ. Et comme nous pouvons le voir, le vecteur 𝐓 a son origine au départ et sa pointe à notre pointe restante. Donc 𝐓 doit être la somme de 𝐀, 𝐁 et 𝐂.
Si nous devions additionner les vecteurs dans un ordre différent, peut-être 𝐂 puis 𝐀 puis 𝐁 comme indiqué, nous trouverions que la pointe restante coïncide toujours avec la pointe de 𝐓 et l’origine restante coïncide toujours avec l’origine de 𝐓, ce qui confirme que notre réponse est 𝐓 et montre également visuellement comment l’addition de vecteurs est commutative.
