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Vidéo de question : Puissance du mouvement sur des plans inclinés avec des forces de résistance Mathématiques

Une voiture de masse 3 tonnes montait une route inclinée par rapport à l’horizontale d’un angle dont le sinus vaut 1/40 à sa vitesse maximale de 54 km/h. Plus tard, la même voiture monta une autre route qui était inclinée par rapport à l’horizontale d’un angle dont le sinus vaut 1/120. Sur cette colline, sa vitesse maximale a été de 72 km/h. Sachant que la résistance au mouvement de la voiture était la même sur les deux routes, calculez la puissance du moteur de la voiture 𝑃 et la résistance des routes 𝑅.

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Transcription de vidéo

Une voiture de masse trois tonnes montait une route inclinée par rapport à l’horizontale d’un angle dont le sinus vaut un sur 40 à sa vitesse maximale de 54 kilomètres par heure. Plus tard, la même voiture monta une autre route qui était inclinée par rapport à l’horizontale d’un angle dont le sinus vaut un sur 120. Sur cette colline, sa vitesse maximale a été de 72 kilomètres par heure. Sachant que la résistance au mouvement de la voiture était la même sur les deux routes, calculez la puissance du moteur de la voiture 𝑃 et la résistance des routes 𝑅.

Nous pensons donc ici à une voiture qui roule sur deux routes inclinées selon des angles différents. L’une des premières choses que nous pouvons remarquer à propos de cette question est qu’on ne nous dit pas les angles proprement dits sous lesquels les routes sont inclinées. La première route est inclinée par rapport à l’horizontale d’un angle dont le sinus est un sur 40. Nous pouvons donc dire que la pente est inclinée de 𝜃 un et que le sinus de 𝜃 un est un sur 40. Cette équation peut être réarrangée pour nous montrer que 𝜃 un est égal au arc sinus de 1 sur 40, ce que notre calculatrice nous montrera qui est approximativement égal à 1,4 degrés.

Nous pouvons faire pareil pour l’autre angle. Appelons ceci 𝜃 deux. La question nous dit que cette route est inclinée par rapport à l’horizontale d’un angle dont le sinus est un sur 120. Ceci signifie que nous pouvons dire que le sinus de 𝜃 deux est un sur 120. Donc 𝜃 deux est égal au arc sinus de 1 sur 120, ce que notre calculatrice donne comme environ 0,48 degrés. Alors pourquoi la question ne nous dit-elle pas tout simplement l’angle de la pente en degrés ? Eh bien, comme nous le verrons plus tard, ceci va en effet faciliter nos calculs si nous connaissons le sinus de l’angle plutôt que l’angle lui-même. Donc pour l’instant, nous pouvons oublier les valeurs des angles en degrés. Et nous gardons à l’esprit simplement que la première pente est légèrement plus raide que la deuxième pente, ce que nous avons montré dans nos schémas.

Donc cette question nous demande de calculer la résistance des routes, qui est une force 𝑅, ainsi que la puissance du moteur de la voiture, que nous appelons 𝑃. Rappelons-nous que la puissance du véhicule est simplement une unité de puissance et que la puissance est généralement égale à la force multipliée par la vitesse. Puisque nous trouvons ici la puissance du moteur de la voiture, la force en question est spécifiquement la force produite par le moteur de la voiture. Donc puisque nous nous intéressons aux forces qui agissent sur la voiture, commençons par étiqueter les schémas avec toutes les forces présentes.

Tout d’abord, nous avons une force produite par le moteur de la voiture dans les deux situations. Il n’est pas immédiatement clair si le moteur produit la même force sur les deux pentes, alors appelons ces forces 𝐹 un et 𝐹 deux. On nous dit également que la voiture subit une certaine force de résistance et que cette force de résistance est la même sur les deux routes. Donc cette force de résistance a une valeur de 𝑅 dans les deux cas. On nous a donné également le poids de la voiture, qui agit évidemment vers le bas. Et ceci est égal à la masse de la voiture 𝑚 multipliée par l’accélération due à la pesanteur 𝑔. Finalement, dans les deux cas, nous avons une force de réaction normale de la route qui agit sur la voiture. Appelons ces forces 𝑁 un et 𝑁 deux, respectivement.

Ensuite, dans une situation comme celle-ci, où plusieurs forces agissent sur un seul objet, nous pouvons utiliser la deuxième loi de Newton pour savoir comment ces forces sont liées les unes aux autres. La deuxième loi de Newton nous dit que la force résultante agissant sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération. Rappelons-nous que la force résultante est simplement la somme vectorielle de toutes les forces agissant sur un objet. Maintenant, lorsque nous additionnons des vecteurs, nous devons d’abord les décomposer en composantes perpendiculaires et parallèles. Souvent en mécanique, nous trouvons les composantes verticale et horizontale de nos forces. Mais lorsque nous traitons un plan incliné, il est souvent plus facile de trouver les composantes de chaque force qui agissent parallèlement à la pente et perpendiculaires à la pente.

Dans cette question, nous ne sommes intéressés que par le mouvement parallèle à la pente. Ceci signifie que nous pouvons s’en sortir avec les composantes de chaque force qui agissent parallèlement à la pente. Commençons donc par calculer la force résultante parallèle à la pente du schéma de gauche. Tout d’abord, nous pouvons remarquer que 𝐹 un et 𝑅 agissent toutes deux parallèlement à la pente. Disons donc arbitrairement que vers le haut de la pente c’est la direction positive et que vers le bas de la pente c’est la direction négative. Alors la composante de 𝐹 un agissant vers le haut de la pente est simplement 𝐹 un, et la composante de 𝑅 agissant vers le haut de la pente est moins 𝑅.

Si nous regardons la force de réaction normale 𝑁 un, nous voyons que cette force agit perpendiculairement à la pente. Elle n’a donc, aucune composante parallèle à la pente. Donc ceci ne contribue pas à la force résultante parallèle à la pente. Finalement, nous avons le poids de la voiture 𝑚𝑔. Cette force a une composante parallèle à la pente. Nous pouvons visualiser les composantes de la force du poids en utilisant deux flèches. Ceci est la composante de la force de poids agissant perpendiculairement à la pente. Et ceci est la composante qui agit parallèlement à la pente. Nous pouvons remarquer que ces trois flèches forment un triangle rectangle, où l’hypoténuse est l’intensité de la force de poids 𝑚𝑔. Cet angle est le même que l’angle de la pente - c’est 𝜃 un - et le côté opposé du triangle est la composante de la force de poids qui agit parallèlement à la pente.

La trigonométrie nous dit que la longueur de cette flèche est 𝑚𝑔 sinus 𝜃 un. Et c’est, donc, la composante de la force de poids qui agit parallèlement à la pente. En remarquant que cette flèche pointe dans la direction négative, la force résultante horizontale agissant sur la voiture est 𝐹 un moins 𝑅 moins 𝑚𝑔 sinus 𝜃 un.

Et qu’en est-il du membre de droite de cette expression ? Nous connaissons la masse de la voiture 𝑚, mais il ne semble pas qu’on nous n’a pas donné l’accélération de la voiture dans la question. Cependant, on nous a dit la vitesse maximale de la voiture sur les deux pentes. Sur la première route, la vitesse maximale de la voiture est de 54 kilomètres par heure. Et sur la deuxième route, la vitesse maximale est de 72 kilomètres par heure. Alors comment cela nous aide-t-il ? Eh bien, si nous considérons la voiture quand elle se déplace à sa vitesse maximale, nous savons que la vitesse de la voiture est constante. Et si la vitesse de la voiture est constante, cela signifie qu’elle n’accélère pas. Nous pouvons donc dire que l’accélération de la voiture 𝑎 est égale à zéro. Si 𝑎 est nulle, alors 𝑚 fois 𝑎 est également nul, ce qui signifie que la deuxième loi de Newton donne cette équation pour la première situation.

Ensuite, nous faisons exactement la même chose pour la situation du côté droit. En utilisant la deuxième loi de Newton comme guide, nous calculons d’abord la force résultante qui agit parallèlement à la pente. Ceci est donné par 𝐹 deux, la force motrice de la voiture, moins 𝑅, la force résistante au mouvement de la voiture, moins la composante du poids qui agit parallèlement à la pente. C’est 𝑚𝑔 sinus 𝜃 deux. Finalement, nous mettons ceci égal à la masse multipliée par l’accélération. Et comme l’accélération est nulle lorsque la voiture roule à sa vitesse maximale, ceci signifie que le membre droit de cette équation est zéro.

Donc la deuxième loi de Newton nous a donné deux équations, mais nous avons encore trois inconnues, 𝐹 un, 𝑅 et 𝐹 deux. Mais rappelez-vous que la question ne demande pas réellement la force motrice, 𝐹 un et 𝐹 deux, de la voiture sur les différentes pentes. Ce qu’on nous a demandé de calculer c’est la puissance du moteur, qui est égale à la force produite par le moteur multipliée par la vitesse de la voiture 𝑣.

En regardant l’équation de gauche, nous pouvons trouver une expression de la puissance du moteur en réorganisant d’abord pour isoler 𝐹 un. Nous pouvons le faire en ajoutant 𝑅 des deux membres, puis en ajoutant 𝑚𝑔 sinus 𝜃 un aux deux membres, ce qui nous donne 𝐹 un est égal à 𝑚𝑔 sinus 𝜃 un plus 𝑅. Ensuite, parce que la puissance du moteur est égale à la force produite par le moteur multipliée par la vitesse de la voiture, nous pouvons multiplier 𝐹 un par la vitesse de la voiture pour nous donner la puissance. Écrit comme une équation, nous pouvons dire que 𝑃, la puissance du moteur, est égale à 𝐹 un, c’est la force produite par le moteur, multipliée par la vitesse de la voiture, 𝑣 un. Et puisque nous avons montré que 𝐹 un est égal à 𝑚𝑔 sinus 𝜃 un plus 𝑅, nous pouvons remplacer tout cela à la place de 𝐹 un, ce qui nous donne cette expression pour la puissance du moteur.

Faisons maintenant la même chose pour l’expression de droite, en isolant d’abord 𝐹 deux, puis en rappelant que la puissance du moteur est la force produite par le moteur multipliée par la vitesse de la voiture, que nous appelons 𝑣 deux pour cette situation. Voilà, nous avons maintenant ces deux équations. 𝑚, la masse de la voiture, est donnée dans la question. 𝑔 est une constante connue. Les inclinaisons des routes, 𝜃 un et 𝜃 deux, sont également données dans la question, de même que les vitesses maximales de la voiture, 𝑣 un et 𝑣 deux. Ceci signifie que les seules quantités inconnues dans ces équations sont 𝑃, la puissance du moteur et 𝑅, la résistance des routes, qui sont les deux quantités qu’on nous demande de trouver dans la question.

Puisque nous avons deux équations uniques et qu’elles contiennent chacune les deux mêmes quantités inconnues, il est possible de résoudre ces équations simultanément et de trouver les réponses à la question. Donc laissons de l’espace sur l’écran et résolvons-les. Parce que 𝑃, la puissance du moteur de la voiture, est le sujet des deux équations, nous pouvons commencer par égaler les membres droits de chaque équation, et ainsi éliminant 𝑃 et nous permettant de calculer 𝑅. Ensuite, la distribution de 𝑣 dans les parenthèses sur le membre de gauche nous donne 𝑣 un 𝑚𝑔 sinus 𝜃 un plus 𝑣 un 𝑅. Et faire la même chose sur le membre droit nous donne 𝑣 deux 𝑚𝑔 sinus 𝜃 deux plus 𝑣 deux 𝑅.

Ensuite, puisque nous voulons calculer 𝑅, nous allons rassembler tous les termes qui contient 𝑅 sur le membre droit. D’abord, nous soustrayons 𝑣 un 𝑅 des deux membres puis nous soustrayons 𝑣 deux 𝑚𝑔 sinus 𝜃 deux des deux membres. Ceci nous donne 𝑣 un 𝑚𝑔 sinus 𝜃 un moins 𝑣 deux 𝑚𝑔 sinus 𝜃 deux égale 𝑣 deux 𝑅 moins 𝑣 un 𝑅. Libérons de l’espace à l’écran et déplaçons cette ligne vers le haut. Et enfin, si nous regardons le membre droit de l’équation, nous pouvons retirer un facteur de 𝑅, nous donnant 𝑅 fois 𝑣 deux moins 𝑣 un. Et nous pouvons ensuite diviser les deux membres de cette expression par 𝑣 deux moins 𝑣 un pour nous donner 𝑅 est égal à 𝑣 un 𝑚𝑔 sinus 𝜃 un moins 𝑣 deux 𝑚𝑔 sinus 𝜃 deux le tout sur 𝑣 deux moins 𝑣 un.

D’accord, maintenant nous avons une expression pour 𝑅, tout ce que nous devons faire est de remplacer les valeurs des grandeurs connues, en faisant attention à les exprimer avec les bonnes unités. On nous dit que la masse de la voiture est de trois tonnes. Et nous savons que les unités standard de masse sont les kilogrammes. Une tonne est égale à 1000 kilogrammes. Donc trois tonnes sont égales à 3000 kilogrammes. On nous dit également que le sinus de l’angle de la première pente est un sur 40. Notez que nous sommes en mesure de remplacer le sinus des angles directement dans notre équation, de sorte que nous n’avons pas besoin de se soucier de valeurs réelles des angles. De même, le sinus de l’angle de la deuxième pente, 𝜃 deux, est un sur 120.

Ensuite, on nous dit que la vitesse maximale de la voiture sur la première pente, que nous avons appelée 𝑣 un, est égale à 54 kilomètres par heure. Les unités standard de vitesse sont les mètres par seconde. Pour convertir cette quantité en mètres par seconde, nous devons d’abord la multiplier par 1000, soit le nombre de mètres dans un kilomètre, et la diviser par 3600, ou le nombre de secondes dans une heure. Dans l’ensemble, ceci équivaut à diviser la quantité par 3,6. Et 54 sur 3,6 nous donne 15 mètres par seconde. La vitesse maximale de la voiture sur la deuxième pente, que nous appelons 𝑣 deux, est donnée à 72 kilomètres par heure. Encore une fois, nous pouvons diviser cette quantité par 3,6 pour nous donner la valeur en mètres par seconde, qui dans ce cas est 20.

Enfin, nous avons juste besoin de 𝑔, l’accélération gravitationnelle à la surface de la Terre, qui est égale à 9,8 mètres par seconde au carré. L’utilisation d’unités standard pour chacune de ces quantités garantit que la valeur que nous calculons pour 𝑅 sera exprimée en newtons. Ensuite, remplacer toutes ces valeurs nous donne ceci. Et calculer soigneusement cette expression sur notre calculatrice nous donne une valeur de 1225 newtons. Puisque 𝑅 est une force, nous pourrions également l’exprimer en unités de kilogrammes-poids. Pour ce faire, nous divisons simplement la valeur par 9,8, qui est la valeur de 𝑔. 1225 divisé par 9,8 nous donne 125 kilogrammes poids.

Une fois que nous avons trouvé la valeur de 𝑅, nous pouvons l’utiliser avec l’une ou l’autre de ces équations pour trouver 𝑃. Donc, en prenant l’équation de gauche, il suffit de remplacer les valeurs de 𝑚, 𝑔, sinus 𝜃 un, 𝑅 - et notez que nous utilisons la valeur exprimée en unités standard de newtons - et enfin 𝑣 un, qui nous donne une valeur de 29400.

Puisque nous avons utilisé des grandeurs exprimées en unités standard dans notre calcul, ceci signifie que notre réponse est donnée en unités standard de puissance, qui sont watts. Cependant, la question nous demande de déterminer la puissance du moteur de la voiture. Pour ce faire, il suffit de rappeler qu’un cheval-vapeur métrique équivaut à 735 watts. Donc, pour convertir cette valeur en watts en chevaux-vapeur, il suffit de la diviser par 735, ce qui nous donne une valeur finale de 40 chevaux-vapeur.

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