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Vidéo de question : Déterminer l’aire sous la courbe d’une fonction racine Mathématiques

Déterminez, au millième près, l’aire de la région plane délimitée par la courbe d’équation 𝑦=√(2𝑥−2) et les droites d’équations 𝑥=2, 𝑥=3 et 𝑦=0.

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Transcription de vidéo

Déterminez, au millième près, l’aire de la région plane délimitée par la courbe d’équation 𝑦 égale la racine carrée de deux 𝑥 moins deux et les droites d’équations 𝑥 égale deux, 𝑥 égale trois et 𝑦 égale zéro.

Sur ce graphe, nous avons représenté la courbe 𝑦 égale racine carrée de deux 𝑥 moins deux, la droite 𝑥 égale deux et la droite 𝑥 égale trois. La droite 𝑦 égale zéro est simplement l’axe des 𝑥. L’aire que nous devons déterminer est l’aire de la région hachurée. Nous pouvons aussi définir cette aire comme étant l’aire sous la courbe 𝑦 égale racine carrée de deux 𝑥 moins deux entre 𝑥 égale deux et 𝑥 égale trois. Par conséquent, cette aire est égale à l’intégrale entre deux et trois de la racine carrée de deux 𝑥 moins deux par rapport à 𝑥.

Calculons alors la valeur de cette intégrale. Bien que nous puissions intégrer cette expression directement, nous allons opter pour un changement de variable qui nous facilitera la tâche. Nous allons remplacer le terme deux 𝑥 sans se préoccuper de la constante deux. Ainsi, nous posons deux 𝑥 est égal à 𝑢. Nous devons à présent exprimer d𝑥 en fonction de d𝑢. Pour cela, nous allons utiliser le fait que d𝑢 est égal à d𝑢 sur d𝑥 fois d𝑥. Nous pouvons calculer d𝑢 sur d𝑥 en utilisant le fait que 𝑢 est égal à deux 𝑥. Ainsi, nous dérivons deux 𝑥 par rapport à 𝑥, ce qui nous donne simplement deux. Nous en déduisons que d𝑢 est égal à deux d𝑥. En réarrangeant cette équation pour isoler d𝑥, nous obtenons que d𝑥 est égal à un demi d𝑢.

Puisque nous intégrons entre 𝑥 égale deux et 𝑥 égale trois, nous devons aussi exprimer cela en fonction de 𝑢. Ainsi, nous devons déterminer les deux valeurs de 𝑢 qui nous donnent une aire équivalente quand nous intégrons par rapport à 𝑢. Pour 𝑥 égale deux, nous avons que 𝑢 est égal à deux fois 𝑥. Ainsi, 𝑢 est égal à quatre. Pour 𝑥 égale trois, nous avons que 𝑢 est égal à deux fois 𝑥. Ainsi, 𝑢 est égal à six. Nous allons donc intégrer entre 𝑢 égale quatre et 𝑢 égale six.

Nous sommes maintenant prêt à faire notre changement de variable. Ainsi, nous remplaçons le terme deux 𝑥 par 𝑢. Nous remplaçons d𝑥 par un demi d𝑢. Enfin, nous intégrons à présent entre 𝑢 égale quatre et 𝑢 égale six. Cela nous donne l’intégrale entre quatre et six de la racine carrée de 𝑢 moins deux fois un demi d𝑢. Nous pouvons sortir le facteur constant de un demi de notre intégrale.

Nous remarquons également que la racine carrée de 𝑢 moins deux peut s’écrire 𝑢 moins deux puissance un demi. Cela nous facilitera la tâche lorsque nous intégrerons. Nous sommes donc maintenant prêt à intégrer. Le terme constant un demi n’est pas affecté par l’intégration et reste à la même place. Ensuite, pour le terme 𝑢 moins deux puissance un demi, nous devons augmenter de un la puissance et diviser par cette nouvelle puissance. Augmenter de un la puissance nous donne 𝑢 moins deux puissance trois demis. Nous devons ensuite diviser par notre nouvelle puissance. Ainsi, nous divisons par trois demis.

Seulement, il faut faire attention ici, car nous avons affaire à une fonction dans une fonction. Ce qui signifie que nous devons diviser par la dérivée de la fonction interne. La fonction interne est 𝑢 moins deux. La dérivée de 𝑢 moins deux est simplement un. Cependant, diviser par un n’a aucun effet. Nous n’avons donc pas à nous en inquiéter dans ce cas. Enfin, n’oublions pas que nous intégrons entre six et quatre. Ainsi, nous remplaçons 𝑢 par six et par quatre dans notre formule et nous faisons la différence de ces deux résultats.

Nous obtenons donc cette expression. Nous remarquons que nous pouvons factoriser par le facteur commun un sur trois demis. Cela nous donne un demi fois un sur trois demis multiplié par six moins deux puissance trois demis moins quatre moins deux puissance trois demis. Un demi fois un sur trois demis est égal à un tiers. Six moins deux est égal à quatre et quatre moins deux est égal à deux.

Nous pouvons alors utiliser la calculatrice pour obtenir un résultat de 1,723857625. Seulement, il ne faut pas oublier qu’on nous demande de donner notre réponse au millième près. Un millième correspond à un sur mille, ce qui est égal à 0,001. Ainsi, nous devons arrondir à trois décimales près. Cela nous donne une solution de 1,724.

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