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Vidéo de question : Trouver l’équation vectorielle d’une droite Mathématiques

Laquelle des équations suivantes est une équation vectorielle de la droite qui passe par le milieu de 𝐴𝐵, où 𝐴 = (5 ; -2) et 𝐵 = (3 ; 8) et qui passe par le point (3 ; 1) ? [A] 𝐫 = (5 ; −2) + 𝑘(7 ; 4) [B] 𝐫 = (4 ; 3) + 𝑘( − 1 ; −2) [C] 𝐫 = (− 4 ; −3) + 𝑘(2 ; −10) [D] 𝐫 = (4 ; 3) + 𝑘(7 ; 4) [E] 𝐫 = (− 1 ; −2) + 𝑘(4 ; 3)

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Transcription de vidéo

Laquelle des équations suivantes est une équation vectorielle de la droite qui passe par le milieu du segment 𝐴𝐵, où 𝐴 est égal à cinq, moins deux et 𝐵 est égal à trois, huit et qui passe par le point trois, un ? Est-ce (A) vecteur 𝐫 égale cinq, moins deux plus 𝑘 fois sept, quatre ? Est-ce (B) vecteur 𝐫 égale quatre, trois plus 𝑘 fois moins un, moins deux ? (C) vecteur 𝐫 égale moins quatre, moins trois plus 𝑘 fois deux, moins 10. (D) 𝐫 égale quatre, trois plus 𝑘 fois sept, quatre. Ou est-ce (E) 𝐫 égale moins un, moins deux plus 𝑘 fois quatre, trois ?

Commençons par rappeler comment nous représentons l’équation vectorielle d’une droite. L’équation vectorielle d’une droite pourrait être représentée sous la forme 𝐫 est égal à 𝐫 indice zéro plus 𝑡 fois 𝐝. Où 𝐫 indice zéro est le vecteur position d’un point sur la droite. Pour cette raison, 𝐫 indice zéro peut prendre n’importe quel nombre de valeurs. Nous devons simplement nous assurer que le point lui-même se trouve sur la droite. On sait que 𝑡 est un scalaire, un scalaire constant. Et puis 𝐝 est le vecteur directeur de notre droite. Donc, notre travail va être d’identifier le vecteur position et le vecteur directeur. Nous pouvons remarquer que dans cette question, chaque scalaire est donné comme la lettre 𝑘 au lieu de la lettre 𝑡. Et c’est tout à fait correct. Nous utiliserons 𝑘 dans le reste de cette question.

Donc, pour trouver le vecteur position, identifions un seul point sur la droite. Nous pourrions utiliser le point trois, un. Mais on nous dit aussi que notre droite passe par le milieu du segment de droite 𝐴𝐵. Nous savons que le vecteur position du point trois, un est trois, un. Et aucune des droites de cette question n’a cela comme vecteur de position. Voilà donc une bonne indication que nous allons devoir trouver le milieu de 𝐴𝐵. Pour ce faire, nous rappelons que nous pouvons trouver le milieu d’une paire de coordonnées en ajoutant ces coordonnées et en les divisant par deux. En particulier, le milieu de 𝑥 indice un, 𝑦 indice un et 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux est 𝑥 indice un plus 𝑥 indice deux sur deux, 𝑦 indice un plus 𝑦 indice deux sur deux.

Nous cherchons à trouver le milieu de 𝐴 et 𝐵, donc c’est le milieu de cinq, moins deux et trois, huit. C’est cinq plus trois sur deux, moins deux plus huit sur deux. Cinq plus trois font huit, et huit divisé par deux fait quatre. De même, moins deux plus huit divisé par deux fait trois. Nous avons donc trouvé le milieu du segment de droite 𝐴𝐵. Puisque le vecteur position du point sur notre droite nous dit comment y arriver à partir de l’origine, nous savons que le vecteur position 𝐫 indice zéro peut être donné par le vecteur quatre, trois.

Maintenant que nous avons le vecteur position, identifions le vecteur directeur. Nous pouvons trouver le vecteur directeur en trouvant la différence entre les vecteurs de position de deux points sur notre droite. Nous savons que la droite passe par trois, un et quatre, trois. Ainsi, le vecteur directeur pourrait être trois, un moins quatre, trois. Il convient de noter que nous pouvons le faire en sens inverse. En d’autres termes, nous pourrions trouver quatre, trois moins trois, un. Lorsque nous multiplions par le scalaire, ce scalaire peut prendre n’importe quelle valeur. Et donc en réalité, le vecteur directeur peut être un multiple de cette différence.

Cependant, nous pourrions remarquer que si nous soustrayons le vecteur quatre, trois de trois, un, nous obtiendrons l’un des vecteurs directeurs de notre question. En fait, en soustrayant les composantes individuelles, nous obtenons le vecteur moins un, moins deux. Donc, en prenant le vecteur directeur moins un, moins deux et le vecteur position d’un point de notre droite égal à quatre, trois et en prenant finalement le scalaire égal à 𝑘, on obtient l’équation de notre droite égale à quatre, trois plus 𝑘 fois moins un, moins deux. Cela équivaut à l’option (B).

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